Construa duas funções e satisfazendo

Construa duas funções satisfazendo:$f,g: R^+ → R^+$

1. $f, g$ são contínuos;
2. $f, g$ estão aumentando monotonicamente;
3. g ≠ O ( f $f \ne O(g)$ e .$g \ne O(f)$

Existem muitos exemplos para essas funções. Talvez a maneira mais fácil de entender como obter um exemplo seja construindo-o manualmente.

Vamos começar com a função sobre os números naturais, pois eles podem ser continuamente concluídos em reais.

Uma boa maneira de garantir que e é alternar entre suas ordens de magnitude. Por exemplo, poderíamos definirg ≠ O ( f $f\neq O(g)$$g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Então, poderíamos ter comportam o oposto sobre as probabilidades e nivela. No entanto, isso não funciona para você, porque essas funções não estão aumentando monotonicamente.$g$

Entretanto, a escolha de foi um tanto arbitrária, e poderíamos simplesmente aumentar as magnitudes para ter monotonicidade. Dessa forma, podemos criar:$n,n^2$

g ( n ) = { n 2 n - 1 n  é ímpar n 2 n n $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$ , e $g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Claramente, essas são funções monótonas. Além disso, , uma vez que nos números inteiros ímpares, se comporta como enquanto se comporta como e vice-versa nos céus.f n 2 n g n 2 n - 1 = n 2 n / n = o ( n 2 n$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Agora, tudo o que você precisa é completá-las em reais (por exemplo, adicionando partes lineares entre os números inteiros, mas isso não vem ao caso).

Além disso, agora que você tem essa idéia, pode usar as funções trigonométricas para construir `` fórmulas fechadas '' para essas funções, pois e estão oscilando e atingem picos em pontos alternados.$\sin$$\cos$

Uma boa ilustração para mim é: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

g ( n ) = 2 x + c o s ( x ) f ≠ O ( g ) g ≠ O ( f