Transformando uma cobertura arbitrária em uma cobertura de vértice

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Dado é um gráfico planar e deixe G denotar sua incorporação no plano em que cada aresta tem comprimento 1 . I têm, além disso, um conjunto C de pontos, em que cada ponto c C está contido na L . Além disso, é válido para qualquer ponto p em G que exista um c C com distância geodésica até p no máximo um. (A distância é medida como a menor distância dentro de G ).G=(V,E)G1CcCGpGcCpG

Quero argumentar que, dado um para o qual a condição acima se aplica, posso transformá-lo facilmente em uma cobertura de vértice ou, de maneira diferente, transformá-lo em um C ' da mesma cardinalidade, se qualquer c C ' for colocado em G a vértice do L , e C ' ainda cobre L .CCcCGGCG

Minha abordagem foi orientar as arestas e mover os pontos em no vértice final do arco. Mas até agora eu não encontrar uma orientação correta que produz C ' de C .CCC

Alguém tem uma ideia?

user695652
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Não entendo bem o problema. O que significa " em G "? Como exatamente você mede distâncias? Se você quer dizer que p está sempre em uma aresta, parece que se você colocá-lo em uma das extremidades, todos os pontos à distância no máximo 1 dele - ou seja, os dois pontos de extremidade - ainda estão à distância no máximo 1 dele. Para qualquer orientação. pGp11
Yuval Filmus
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@Yuval Filmus é um desenho Jordan arco de L , ou seja, um subconjunto de \ mathhbb R 2 . p G significa apenas que o ponto deve estar contido no desenho e não apenas em qualquer parte do plano. A distância é medida como a distância geodésica em G , ou seja, o caminho mais curto que liga dois pontos no desenho. Para sua última observação, faça um ciclo de 4 e coloque dois pontos no meio da primeira e terceira arestas. Esta abrange a totalidade gráfico, mas se você agora mover um ponto no seu ponto final no sentido horário vértice e um ponto no seu sentido anti-horário vértice endpoint que fizerem coverGG\ mathhbbR2pGG
user695652

Respostas:

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Se nenhum ponto em mentir exatamente no ponto médio de uma aresta em G , em seguida, basta associar cada ponto C para o vértice mais próximo no G . Vou deixar como um exercício para o leitor provar isso (dica: provar por contradição).CGCG

Por outro lado, se é permitido que os pontos em fiquem no ponto médio das arestas, podemos fornecer um contra-exemplo:C

insira a descrição da imagem aqui

As linhas azuis e círculos são e as cruzes vermelhas são C .GC

EDITADO PARA ADICIONAR: Um exemplo com um gráfico biconectado

insira a descrição da imagem aqui

mhum
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Muito obrigado pelo contra-exemplo. Você concorda que, se restringirmos os gráficos a serem biconetados, a afirmação é verdadeira, mesmo que todos os pontos estejam no meio?
user695652
Eu não acho que a bi-conexão salvará você. Eu editei minha resposta com um novo exemplo.
Mhum
Esta é uma questão bastante diferente. Pode fazer sentido publicá-lo separadamente.
Mhum
@mhum Como você fez fotos de gráficos? Existe algum programa para isso?
Tacet 11/11
@ Tacet Não me lembro exatamente como fiz isso. Eu acho que o primeiro pode ter sido o MS Paint ou o GIMP. O segundo pode ser o GIMP ou o Geogebra.
Mhum