Complexidade do problema da adoção de gatinhos

Isso surgiu enquanto eu tentava responder a essa pergunta sobre Minimização do comprimento da fiação . Eu chamaria isso de problema do "casamento polígamo", mas a internet, então gatinhos. Yay!

Suponha que temos gatinhos que precisam ser adotado por pessoas, . Para cada gatinho, e cada pessoa existe um custo . Gostaríamos de minimizar o custo total da adoção de todos os gatinhos. Há também um conjunto de restrições: cada pessoa é capaz de adotar não mais que gatinhos.N M > N i j c i j j u $M$$N$$M > N$$i$$j$$c_{ij}$$j$$u_j$

Sem as restrições, o problema é fácil; cada gatinho que acompanho com a pessoa para a qual é mínimo. Com as restrições, existe um algoritmo eficiente para esse problema ou é NP-difícil?j c i $i$$j$$c_{ij}$

Esse é o problema de fluxo máximo de custo mínimo.

Considere um gráfico , onde A é o conjunto de gatinhos, B é o conjunto de pessoas.$G=(A\cup B\cup \{s,t\},E)$$A$$B$

Seja a capacidade das arestas e c : E → R + seja o custo de uma aresta. Garantimos que$C:E\to \mathbb{R}^+$$c:E\to \mathbb{R^+}$

1. Existe uma aresta entre , onde a i ∈ A e b j ∈ B e C ( a i , b j ) = 1 , c ( a i , b j ) = c i , j .$a_i,b_j$$a_i\in A$$b_j\in B$$C(a_i,b_j)=1$$c(a_i,b_j)=c_{i,j}$
2. Há uma vantagem entre e um i ∈ A , e C ( s , um i ) = 1 , c ( s , um i ) = 0 .$s$$a_i\in A$$C(s,a_i)=1$$c(s,a_i)=0$
3. Existe uma aresta entre e t , e C ( b j , t ) = u j , c ( b j , t ) = 0 .$b_j\in B$$t$$C(b_j,t)=u_j$$c(b_j,t)=0$

Se o fluxo máximo é , sabemos que existe uma solução. Você pode construir uma solução de custo mínimo a partir do fluxo máximo de custo mínimo.$M$

Esse é o problema de correspondência perfeita de peso mínimo que é polinomial. Considere o grafo bipartido completo , em que L contém um nó l i para cada gatinho i , R consiste de u j cópias do nó r j para cada pessoa j , e arestas de e i j ∈ E entre l i e cada cópia de r j , com pesos c i j .$(L , R , E)$$L$$l_i$$i$$R$$u_j$$r_{j}$$j$$e_{ij} \in E$$l_i$$r_{j}$$c_{ij}$

Nós sabemos que , caso contrário, nem todos os gatinhos poderão ser atribuídos a pessoas.$|L| \leq |R|$

Desde perfeita correspondência deve coincidir com todos os nós, precisamos adicionar nós fictícios para (para obter | L | = | R | ) e conectá-los com zero bordas de peso para todos os nós em R .$L$$|L| = |R|$$R$

Possivelmente interessante é a observação de que se pode reduzir a Partição a uma variante desse problema. Dada é uma instância da Partição com elementos com q mesmo a partir do qual temos que escolher um subconjunto S ⊆ { 1 , … , q } com | S | = q / 2 tal que ∑ i ∈ S x i = ∑ i ∉ S x i = $\{x_1,\dots,x_q\}$$q$$S \subseteq \{1,\dots,q\}$$|S|=q/2$$\sum_{i\in S} x_i = \sum_{i\not\in S} x_i = K$. (Observe que o requisito de escolher exatamente metade dos elementos não é a forma usual, mas essa forma ainda é difícil para o NP.) Deixe cada gatinho ser um elemento do conjunto; que haja duas pessoas; deixar os pesos ser e C i 2 = - x i ; Seja u 1 = u 2 = q / 2 . Em seguida, este exemplo de adopção gatinho tem um máximo de 0 sse o exemplo de partição tem uma solução.$c_{i1} = x_i$$c_{i2} = -x_i$$u_1 = u_2 = q/2$$0$

Se os custos no Kitten Adoption forem sempre positivos, basta adicionar uma constante grande o suficiente a todos os pesos para garantir que eles sejam o sinal certo, quando o limite necessário for C q em vez de 0.$C$$Cq$

Não sei ao certo o que isso diz sobre a complexidade do problema original, mas, considerando o frequentemente visto "um de minimizar / maximizar é NP-difícil, o outro está na configuração P" para problemas de otimização combinatória, eu começaria a procurar um algoritmo eficiente.