Solução de relações de recorrência 'Chip & Conquer'

Fui encarregado de resolver algumas relações de recorrência e tenho tido problemas com as chamadas relações 'chip & conquistar'.

Aqui estão alguns problemas de exemplo:

$$T(n) = T(n-5) + cn^2$$

e

$$T(n) = T(n-2) + \log{n}$$

Eu deveria estar dando uma resposta na notação $\Theta$ . Como faço para resolver e resolver relações como essas?

Para simplificar, vamos assumir que divide e que para algum número inteiro .$5$$n$$n/2=n-5k$$k>0$

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-5) + cn^2 \\ T(n) &= cn^2 + c(n - 5)^2 + c(n - 10)^2 + c(n - 15)^2 + ... + c5^2 + c0^2 \\ &= c(n^2 + (n - 5)^2 + (n - 10)^2 + (n - 15)^2 + ... + 5^2 + 0^2) \\ &\ge c(n^2 + (n - 5)^2 + (n - 10)^2 + (n / 2)^2) \ge c(n / 2)(1 / 5)(n / 2)^2) \\ &= cn^3 / 40 = (c / 40)n^3 \\ &= \Omega(n^3) \\ T(n) &= cn^2 + c(n - 5)^2 + c(n - 10)^2 + c(n - 15)^2 + ... + c5^2 + c0^2 \\ &\le c(n / 5)n^2 \le cn^3 \\ &= O(n^3) \\ \end{align*}$$

Concluímos que .$T(n) = \Theta(n^3)$

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Vamos supor, por simplicidade, que para um número inteiro .$n/2 = n-2k$$k>1$

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-2) + \log n = \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(4) \\ &\ge \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(n / 2) \ge (n / 2)log(n / 2) \\ &= \Omega(n \log n) \\ T(n) &= T(n-2) + \log n = \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(4) \\ &\le (n / 2) \log n \\ &= O(n \log n) \\ \end{align*}$$

Concluímos que .$T(n)=\Theta(n \log n)$

Expanda a recorrência e resuma.

Exemplo 1:

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-5) + O(n^2) = T(n-10) + O(n^2) = \dots \\ &= T(0) + \{\text{\(n/5\) terms, each \(O(n^2)\)}\} \end{align*}$$

Agora digamos . Isso seria geralmente dado na pergunta.$T(0) = c$

Então, isso somaria$(n/5).O(n^2) = O(n^3)$

Exemplo 2:

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-2)+\log n = T(n-4)+\log(n-2) + \log(n) = \dots \\ &= T(0) + \log(n-2^k) + \dots + log(n) = c + \log(n-2^k) + \dots + \log(n-2) + \log(n) \\ &= c + n \log(n) \end{align*}$$