Por que tamanhos de entrada maiores implicam em instâncias mais difíceis?

Abaixo, suponha que estamos trabalhando com uma máquina de Turing com fita infinita.

Ao explicar a noção de complexidade de tempo a alguém e por que ela é medida em relação ao tamanho de entrada de uma instância, deparei-me com a seguinte afirmação:

[..] Por exemplo, é natural que você precise de mais etapas para multiplicar dois números inteiros com 100000 bits do que, digamos, multiplicar dois números inteiros por 3 bits.

A alegação é convincente, mas de alguma forma, acenando com a mão. Em todos os algoritmos que deparei, quanto maior o tamanho da entrada, mais etapas você precisará. Em palavras mais precisas, a complexidade do tempo é uma função monotonicamente crescente do tamanho da entrada.

Será que a complexidade do tempo é sempre uma função crescente no tamanho da entrada? Se sim, por que é esse o caso? Existe uma prova disso além do acenar com a mão?

complexity-theory time-complexity intuition Kaveh
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"Diretamente proporcional" tem um significado matemático específico que significa tempo essencialmente linear. Em outras palavras, se sua entrada tiver tamanho , se o tempo for diretamente proporcional, o algoritmo será executado no tempo . Eu imagino que não é isso que você quer dizer, pois muitos algoritmos não são executados em tempo linear, ou seja, classificação. Você pode explicar mais?

n

$n$

c n

$cn$

SamM 13/08/12

Então você está perguntando sobre um algoritmo que é executado em tempo? significa que o algoritmo é executado ao mesmo tempo, independentemente do tamanho da entrada,

significa que corre mais rápido à medida que a entrada aumenta. Eu não consigo pensar em um que seja executado no topo da minha cabeça, mas a notação é bastante comum porque um algoritmo geralmente é executado em algo como

tempo - em outras palavras , leva tempo

e existem outros termos que ficam menores à medida que a entrada aumenta.

o (1)

$o(1)$

O (1)

$O(1)$

o (1)

$o(1)$

O (n^{2}) + o (1)

$O(n^2) + o(1)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

SamM 13/08/12

Boa pergunta. E o contra-exemplo de cálculo dos fatores primos de

para alguns

grandes (essa é apenas uma função crescente para

)? @ Sam Observe que uma função crescente diz que o tempo deve estar diminuindo em algum momento ao longo da linha real (isto é,

c / n

$c / n$

c

$c$

n \geq c

$n \geq c$

f (b) < f (a), a < b

$f(b) < f(a), a < b$

Casey Kuball

@Darthfett Receio não seguir. Nem todas as funções crescentes estão diminuindo em algum momento ao longo da linha real.

SamM 13/08/12

@ Jennifer Sim, eu entendo, isso faz sentido. Eu recomendo usar o termo

, pois tem o significado que você está procurando. E gostaria de enfatizar que a proporcionalidade direta implica linearidade; Entendo o que você está dizendo, mas pode ser confuso para quem está lendo a pergunta pela primeira vez.

o (1)

$o(1)$

SamM 13/08/12

Respostas:

É o caso de que a complexidade do tempo é sempre uma função crescente no tamanho da entrada? Se sim, por que é esse o caso?

Não. Considere uma máquina de Turing que pare após etapas quando o tamanho de entrada for par e pare após etapas quando for ímpar. $n$ $n$ $n^2$ $n$

Se você quer dizer a complexidade de um problema , a resposta ainda é não. A complexidade do teste de primalidade é muito menor para números pares do que para números ímpares.

JeffE
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É o caso de que a complexidade do tempo é sempre uma função crescente no tamanho da entrada? Se sim, por que é esse o caso? Existe uma prova disso além do acenar com a mão?

Deixe denotar o tamanho da entrada. Para ler toda a entrada, uma máquina de turing já precisa de etapas. Portanto, se você assumir que um algoritmo deve ler toda a entrada (ou para alguma constante ), sempre terá pelo menos tempo de execução linear. $n$ $n$ $n/c$ $c$

O problema com a definição de algoritmos com uma "função de tempo de execução que diminui monotonicamente" é que você precisa definir o tempo de execução para alguma forma. Você precisa configurá-lo para algum valor finito . Mas existem infinitos valores possíveis para , então você acaba com uma função que é constante para muitos valores infinitos. $n = 1$ $n > 1$

Provavelmente algoritmos sublineares são de seu interesse, que não leem toda a entrada. Veja, por exemplo, http://www.dcs.warwick.ac.uk/~czumaj/PUBLICATIONS/DRAFTS/Sublinear-time-Survey-BEATCS.pdf .

Christopher
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Existem algoritmos sublineares. Por exemplo, consulte people.csail.mit.edu/ronitt/sublinear.html . É um campo razoavelmente novo, mas é muito interessante. Existem outros contra-exemplos para isso. Encontrar um elemento com uma lista classificada leva tempo

no modelo de RAM. Concordo com a ideia por trás da sua postagem. Não faz sentido que um algoritmo leve menos tempo à medida que a entrada aumenta, porque não tem tempo para ler toda a entrada (como é que isso leva menos tempo?). Mas eu não sei como provar que eles não existem, e que um truque não poderia fazê-lo

O (\log n)

$O(\log n)$

o (1)

$o(1)$

SamM 14/08/12

@ Sam: Desculpe, eu não vi seu comentário antes da minha edição (adicionando algoritmos sublineares).

Christopher

muito pelo contrário; Não vi sua edição antes de adicionar meu comentário. Gostaria de excluí-lo, mas a segunda metade ainda se aplica e um link adicional não pode prejudicar o OP

SamM

um contraexemplo: uma função constante como

. O que você descreve funciona para funções que precisam ler suas entradas.

f (x) = 0

$f(x)=0$

Kaveh

$(\mathbb{N},\leq)$ $\Omega(1)$

Dito isto, os tempos de execução médios podem conter componentes oscilantes, por exemplo, o Mergesort .

Rafael
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Não vejo como essa resposta está relacionada à pergunta.

A.Schulz

@ A.Schulz Ele prova a questão principal "É o caso de que a complexidade do tempo é sempre uma função crescente no tamanho da entrada?", Lendo "crescente" como "não decrescente", ou seja, não aumentando estritamente.

Raphael

\neq

$\not=$

@ A.Schulz: Ainda assim, minha interpretação parece ser a que Jennifer está interessada .

Raphael