Por que verdadeiro?

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$3^n = 2^{O(n)}$ é aparentemente verdadeiro. Eu pensei que era falso, porque cresce mais rápido do que qualquer função exponencial com uma base de 2. $3^n$

Como verdadeiro? $3^n = 2^{O(n)}$

asymptotics landau-notation David Faux
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Cuidado com o abuso de notação!

Raphael

Realmente não consigo entender o que significa ? primeiro mudei para , depois vi novamente que isso não faz sentido. A pergunta da IMO não faz sentido.

3^{n} = 2^{O (n)}

$3^n = 2^{O(n)}$

3^{n} \in 2^{O (n)}

$3^n \in 2^{O(n)}$

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É extremamente comum escrever para o que, no sentido mais estrito, deve ser . Tão comum que dificilmente é considerado abuso de notação.

f (x) = O (g (x))

$f(x)=O(g(x))$

f (x) \in O (g (x))

$f(x)\in O(g(x))$

precisa saber é o seguinte

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Com alguma álgebra (e alterando a constante no ), podemos realmente mudar as bases. $O(n)$

3^{n} = (2^{\log_{2} 3})^{n} = 2^{n \log_{2} 3}

$3^n = (2^{\log_2 3})^n = 2^{n\log_2 3}$

Como é uma constante, . Então . $\log_2 3$ $n\log_2 3 = O(n)$ $3^n = 2^{O(n)}$

Não sei ao certo o que você quer dizer com " cresce mais rápido que qualquer função exponencial com base em 2." claro, mas parece que você quer dizer algo mais geral. Meu palpite é que sua afirmação se aplica a algo como , onde você multiplica a base por uma constante, em oposição a onde você multiplica o número no expoente por uma constante. $3^n$ $2^n = o(3^n)$ $O(3^n)$ $2^{O(n)}$

SamM
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$3^n$ cresce mais rápido que qualquer função exponencial com uma base de . $2$

Verdade. Isso implica que não pode ser verdadeiro. Mas o que você tem aqui é . $3^n = O(2^n)$ $2^{O(n)}$

Lembre-se de que é realmente um conjunto de funções e, estritamente falando, deveríamos escrever (ou mesmo ). O lado direito não é o exponencial de uma função, mas o exponencial de um conjunto de funções. Expandindo a definição de big oh: $O(f(n))$ $3^n \in 2^{O(n)}$ $(n \mapsto 3^n) \in 2^{O(n \mapsto n)}$

2^{O (n)} = 2^{{f ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}} = {(n \mapsto 2^{f (n)}) ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, f (n) \leq p n}

$2^{O(n)} = 2^{\{f \;\mid\; \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}} = \{(n \mapsto 2^{f(n)}) \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, f(n) \le p n\}$

Como a função exponencial está aumentando, podemos tirar a desigualdade do exponencial: $n \mapsto 2^n$

2^{O (n)} = {g ∣ \exists N, \exists p, \forall n \geq N, g (n) \leq 2^{p n}}

$2^{O(n)} = \{g \mid \exists N, \exists p, \forall n \ge N, g(n) \le 2^{p \, n}\}$

Contraste com

O (2^{n}) = {g ∣ \exists N, \exists k, \forall n \geq N, g (n) \leq k 2^{n}}

$O(2^n) = \{g \mid \exists N, \exists k, \forall n \ge N, g(n) \le k \, 2^{n}\}$

Em , a constante multiplicativa está dentro do exponencial. Em , é multiplicado pelo exponencial. , então temos (para qualquer ) , ou seja, podemos usar e , mostrando que . $2^{O(n)}$ $O(2^n)$ $2^{p \, n} = 2^p 2^n$ $n \ge 0$ $3^n \le 2^{\log_2 3} 2^n$ $N = 0$ $p = \log_2 3$ $3^n \in 2^{O(n)}$

Gilles 'SO- parar de ser mau'
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$3^n=2^{O(n)}$ é de fato verdade porque, se você recordar a definição de , verá que pode adicionar / multiplicar por qualquer constante. Assim: $O(n)$

$3^n < 2^{kn}$ // $\log_2$

$n\log_2(3^n) < kn\log_2(2)$

$k > \log_2(3)$

Então, como você pode ver, é maior que $2^{kn}$ $3^n \iff k > \log_2(3)$

Bartosz Przybylski
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