Por que

Eu gostaria de saber se existe uma regra para provar isso. Por exemplo, se eu usar a lei distributiva, receberei apenas .$(A \lor A) \land (A \lor \neg B)$

Acho que as fotos são ótimas para qualquer coisa simples o suficiente para usá-las, o que é isso.

Lembrar:

E significa a área ocupada por ambas as coisas. Então a do meio é o que é colocado fora de B, mas também dentro de A. A junção deles não é contada porque está dentro de A, mas não fora de B.

OU significa que é coberto por um ou ambos. Ambos cobrem a parte de A que está fora de B, e a junção é coberta por A (primeira figura), portanto também é contada. Em suma, você apenas tem A novamente.

Desculpe se isso é muito simplista, não sei em que nível você está.

Existem muitas maneiras de ver isso. Um é uma tabela da verdade. Outro é a utilização da regra distributiva:

Eu usaria minha regra de inferência menos favorita: Eliminação de disjunção . Basicamente, diz que se segue de P e R segue de Q , então R deve ser verdadeiro se P ∨ Q : ( P → R ) , ( Q → R ) , ( P ∨ Q ) ⊢ $R$$P$$R$$Q$$R$$P \vee Q$

Então, vamos assumir . Conjunto P = O , Q = Um ∧ ¬ B , R = A e aplicar a regra:$A \lor (A \land \neg B)$$P = A$$Q = A \land \neg B$$R = A$

• Se ( = A ) nós terminamos.$P$$= A$
• Se , em seguida, um (por eliminação conjunto, S ∧ T ⊢ S )$Q = A \land \neg B$$A$$S \land T \vdash S$
• Por eliminação disjunção .$A \lor (A \land \neg B) \to A$

O inverso é trivial: assumir , em seguida, por uma das variantes de introdução conjunto ( S ⊢ S ∨ T para qualquer t ) Um → Um ∨ ( ⋯ ) .$A$$S \vdash S \lor T$$T$$A \to A \lor (\cdots)$

Aqui está um diagrama dessa prova:

$C$$D$$C \lor D = D$$D$$C$$D$

$C = A \land \lnot B$$D = A$

Um visual mais intuitivo:

Asempre é verdade quando Aé verdade.

A & -Bsó é verdade quando Aé verdade.

Intuitivamente, aplicando OR para estes dois produziria um resultado Cque é sempre verdade quando Aé verdade. Como tal, Cé sempre verdade quando Aé verdade.

(Pare de ler aqui se esta explicação funcionar para você.)

É assim que eu penso sobre esse problema. No entanto, essa explicação não está completa, pois tudo o que mostramos é isso A -> Ce não A <-> C.

Então, também vamos mostrar isso C -> A.

Aé sempre falso quando Aé falso.

A & -Bé sempre falso quando Aé falso.

Intuitivamente, aplicando OR para estes dois produziria um resultado Cque é sempre falso quando Aé falso. Como tal, Cé sempre falso quando Aé falso; -A -> -C, que é a mesma coisa que C -> A.

Então A -> Ce C -> Aassim A <-> C.

Às vezes, as pessoas ficam confusas com as letras. As pessoas gostam de comida, porque é fácil pensar.

Finja que eu peço que você jogue uma moeda para escolher entre uma OU outra das duas opções a seguir:

• Uma maçã ou ...
• Uma maçã e definitivamente sem banana.

[O primeiro é igual a "A", o segundo "A e não B". Mas não pense nas letras. Pense na maçã e se você também ganha uma banana.]

Essa primeira realmente significa "Uma fersura de maçã e talvez você consiga uma banana".

Portanto, deixar algo de fora é o mesmo que dizer "talvez".

Olhando para eles como um par, o que você conseguir, definitivamente haverá uma Apple envolvida. Yay. E se o seu sorteio escolher o caminho certo, você poderá obter uma banana.

Mas não é o mesmo que dizer "talvez você consiga uma banana"? Apenas, com metade da probabilidade?

Então, tudo o que você pode dizer logicamente é: você terá uma Apple. Você não pode dizer nada sobre comprar uma banana.

Semelhante à resposta de Yuval Filmus. Usando álgebra booleana, em anotação de engenharia e fatorando (ou fatorando) a A.

$A+A\cdot\bar B=A\cdot(1+\bar B)=A\cdot1=A$

Parece que ninguém mencionou ainda, então irei adiante.

A lei para lidar com esses tipos de problemas é a lei de absorção que afirma que pv (p ^ q) = p e também que p ^ (pvq) = p. Se você tentar usar a lei distributiva, isso o manterá em círculos para sempre:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Eu usei o símbolo errado para not e equals, mas o ponto aqui é que, quando você está andando em círculos / quando há um e-ou um desencontro, geralmente você deve observar a lei de abusos.

B é irrelevante para o resultado, como você notará se colocar isso em uma tabela de verdade.

Outra maneira intuitiva de analisar isso:

Se A é um conjunto, então podemos dizer que qualquer objeto é (em A) ou (não em A).

Agora observe S = A ou (A e não B) :

• Se um objeto estiver em A, "A ou qualquer coisa" contém todos os elementos em A; portanto, o objeto também estará em S.

• Se um objeto não estiver em A, "A e qualquer coisa" exclui todos os elementos que não estão em A; portanto, o objeto não está em A nem em (A e não B), portanto não está em S.

Portanto, o resultado é que qualquer objeto em A está em S, e qualquer objeto que não esteja em A não está em S. Portanto, intuitivamente, os objetos em S devem ser exatamente aqueles em A e nenhum outro objeto.

Quando dois conjuntos têm elementos idênticos, eles são definidos para serem o mesmo conjunto. Então A = S.

Um método simples que você sempre pode usar se estiver preso é a análise de caso.

$A$

$A$

$A$

lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.