O lema de corte é verdadeiro com O (r) linhas?

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O lema de corte (também conhecido como lema de decomposição celular) afirma que, dadas linhas no plano, é possível dividi-lo em regiões (triângulos pares) para qualquer modo que o interior de qualquer região é interceptada por linhas . Para mais informações, ver, por exemplo, o livro de Matousek, Lectures on Discrete Geometry, ou este post . $n$ $O(r^2)$ $1\le r\le n$ $O(n/r)$

Minha pergunta é se o plano pode ser dividido por linhas (em regiões ), de modo que o interior de qualquer região seja interceptado por das linhas originais. $O(r)$ $O(r^2)$ $O(n/r)$

co.combinatorics cg.comp-geom domotorp
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Uma amostra aleatória do tamanho r faria o truque, eu acho.

Suresh Venkat

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Eu pensei que escolher uma amostra do tamanho r fosse como o lema do corte foi originalmente provado. Mas pode haver um problema quando o arranjo das linhas amostradas possui células com muitas arestas - se você escolher uma triangulação canônica das células (por exemplo, conectar cada vértice da célula ao vértice inferior), cada triângulo será interceptado por poucas linhas mas isso não é exatamente o mesmo que a afirmação de que a célula inteira é interceptada por poucas linhas.

David Eppstein

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Portanto, suponha que você construa sua decomposição vertical, tomando as linhas , organizando-as e calculando sua decomposição vertical. A questão é que existe um conjunto de linhas do conjunto original de linhas, de modo que essa decomposição vertical forme um corte de . $O(r)$ $O(r)$ $1/r$

Agora, se você considerar a construção de Noga Alon neste artigo:

www.math.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/epsnet3.pdf

e, dualizando-o, você obtém um conjunto de linhas, de modo que, se um ponto estiver contido em mais de linhas, uma delas deve pertencer à rede das linhas. No entanto, essa construção mostra que qualquer rede deve ser de tamanho estritamente super linear em . O resultado de Noga também vale para a versão -net fraca . O que mostra que não há um conjunto de linhas que teriam a propriedade desejada. $n/r$ $1/r$ $O(r)$ $\epsilon$

Sariel Har-Peled
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Eu nem sei por que eu postar minhas perguntas aqui em vez de simplesmente enviando-lhe ...

domotorp

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porque outros também podem se beneficiar, e Sariel não precisa enviar vários emails para as pessoas. :)

Suresh Venkat

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... porque o email é trabalho, mas isso é divertido?

Sariel Har-Peled

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$O(r)$ $n$ $n$ $r$ $n$

David Eppstein
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O lema de corte é verdadeiro com O (r) linhas?

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