Existe uma maneira de codificar uma instância de Subset Sum ou o Number Partition Problem para que uma solução (pequena) para uma relação inteira produza uma resposta? Se não definitivamente, então em algum sentido probabilístico?
Eu sei que o LLL (e talvez o PSLQ) foram usados com sucesso moderado na resolução de problemas de Subconjuntos na região 'baixa densidade', onde o intervalo de números escolhido é maior que , mas esses métodos não são bem dimensionados para exemplos de tamanho maior e falhar na região 'de alta densidade', quando o intervalo de números escolhidos é muito menor do que . Aqui baixa densidade e alta densidade se referem ao número de soluções. A região de baixa densidade refere-se às poucas ou nenhumas soluções existentes, enquanto a alta densidade refere-se a uma região com muitas soluções.
Na região de alta densidade, a LLL encontra relações inteiras (pequenas) entre instâncias fornecidas, mas à medida que o tamanho da instância aumenta, a probabilidade da relação encontrada ser uma solução viável de Soma de Subconjuntos ou Problema de Partição de Número se torna cada vez menor.
A detecção de relação inteira é polinomial para dentro de um limite exponencial de ideal, enquanto Subset Sum e NPP são obviamente NP-Complete, portanto, em geral, isso provavelmente não é possível, mas se a instância for desenhada uniformemente de forma aleatória, isso poderia torná-lo mais simples?
Ou eu nem deveria estar fazendo essa pergunta e, em vez disso, estar perguntando se existe uma maneira de reduzir o limite exponencial da resposta ótima em vez de um aumento exponencial na computação?
Respostas:
Seja m o logaritmo do maior número. Se , é possível resolver em tempo polinomial usando programação dinâmica. Em geral, todo algoritmo conhecido leva pelo menos tempo. Não há algoritmo de tempo polinomial conhecido quando eΩ ( 2 m ) m = ω ( log n ) m = o ( n )m = O ( logn ) Ω ( 2m) m = ω ( logn ) m = o ( n )
No entanto, Flaxman e Przydatek fornecem um algoritmo que resolve problemas de soma de subconjuntos de densidade média no tempo polinomial esperado.
Verifique esta referência:
Flaxman e Przydatek, resolvendo problemas de soma de subconjuntos de densidade média no tempo polinomial esperado
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