Dado um gráfico não-direcionado e não ponderado e um número inteiro par , qual é a complexidade computacional da contagem de conjuntos de vértices modo que e o subgrafo de restrito ao conjunto de vértices admite uma combinação perfeita? A complexidade é # P-completa? Existe uma referência para este problema?k S ⊆ V | S | = k G S
Observe que o problema é obviamente fácil para uma constante pois todos os subgráficos de tamanho podem ser enumerados no tempo {| V | \ escolha k} . Observe também que o problema é diferente de contar o número de combinações perfeitas. A razão é que um conjunto de vértices que admite uma correspondência perfeita pode ter vários números de correspondências perfeitas.k
Outra maneira de declarar o problema é a seguinte. Uma correspondência é chamada de correspondência se corresponder a vértices. Duas correspondências e são `` conjunto de vértices não invariantes' 'se os conjuntos de vértices correspondidos por e não forem idênticos. Queremos contar o número total de correspondências k não-invariantes e definidas como vértices.
Respostas:
O problema é # P-completo. Segue-se do último parágrafo da página 2 do seguinte artigo:
CJ Colbourn, JS Provan e D. Vertigan, A complexidade da computação do polinômio de Tutte em matróides transversais, Combinatorica 15 (1995), n. 1, 1-10.
http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/
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O problema admite um FPTRAS. Este é um algoritmo aleatório que obtém um gráfico , um parâmetro e números racionais e como entradas. Se é o número de conjuntos de -vertex que você está procurando, então gera um número tal que e o faz no tempo , onde é alguma função computável G k ∈ N ϵ > 0 δ ∈ ( 0 , 1 ) z k A z ′ P ( z ′ ∈ [ ( 1 - ϵ ) z , ( 1 + ϵ ) z ] ) ≥ 1 - δ ,A G k∈N ϵ>0 δ∈(0,1) z k A z′
Isto segue de Thm. 3.1 in (Jerrum, Meeks 13) : Dada uma propriedade de gráficos, há um FPTRAS, com a mesma entrada acima, que se aproxima do tamanho do conjunto desde que seja computável, monótono e todos os seus gráficos com margens mínimas limitem a largura da árvore. Todas as três condições são válidas se for a propriedade gráfica de admitir uma correspondência perfeita.{ S ⊆ V ( L ) | | S | = k ∧ Φ ( G [ S ] ) } , Φ ΦΦ
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