A entropia de uma convolução sobre o hipercubo

Digamos que temos uma função , de modo que ( para que possamos pensar em como uma distribuição). É natural definir a entropia de uma função da seguinte maneira: $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$$\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$$\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$$

Agora, considere a convolução de com ela mesma: (Observe que, como estamos lidando com , )[ f ∗ f ] ( x ) = ∑ y ∈ Z n 2 f ( y ) f ( x + y ) . Z n 2 x + y = x - $f$

$$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$$ $\mathbb{Z}_2^n$$x+y=x-y$

É possível fazer um limite superior da entropia de (normalizada na sua L_2, para que seja uma distribuição) pela entropia de ? Formalmente, existe uma constante tal que $f*f$$L_2$$f$$C$

$$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$$

Não existe essa . Defina por $C$$g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

$$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Então satisfaz $g*g$

$$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Seja . Então é (na verdade é exponencialmente pequeno em ), enquanto é aproximadamente .$f=g/\|g\|_2$$H(f)=H(g/\|g\|_2)$$o(1)$$n$$H(g*g/\|g*g\|_2)$$n$