Funções lineares em uma variável têm dimensão VC = 3 e eu lembro de ler em algum lugar que o VC para polinômios de grau é .
Estou procurando idéias que possam provar a afirmação acima (e talvez generalize também para muitas variáveis, embora isso pareça esperar demais).
Qualquer abordagem, mesmo incompleta, será apreciada.
Para definir o problema corretamente: Dado um plano (coordenadas 2D, x e y), qual é o tamanho do conjunto máximo que pode ser quebrado se você puder usar funções de classificação polinomiais ( ) de grau no modo , e você pode escolher qual lado da curva deseja rotular positivo.
Por exemplo, rotule (x, y) como positivo se .
cg.comp-geom
vc-dimension
Karan
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Respostas:
O método básico funciona assim: Suponha que suas desigualdades sejam da forma
Em seguida, você constrói um mapa de elevação para um espaço de maior dimensão, em que cada monômio corresponde a uma dimensão. Agora, o polinômio pode ser expresso como uma combinação linear das novas dimensões e você pode chamar o resultado usual para meios espaços no espaço resultante.
Não tenho certeza de onde você se identifica: a expressão correta para a dimensão VC de polinômios em d variáveis de grau D é , que é o número de monômios de grau no máximo D formado a partir de d variáveis.(d+Dd)
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O seguinte é baseado no livro de Discrepância Geométrica de Jiri Matousek .
Definir um espaço de intervalo em parametrizada por um 1 , ... , um p como se segue. Seja f um polinômio grau D em variáveis d + p . Para cada a ∈ R p , o conjunto S ( a ) é definido como S ( a ) = { x ∈ R d : f ( x , a ) ≤ 0 }Rd a1,…,ap f D d+p a∈Rp S(a) S(a)={x∈Rd:f(x,a)≤0} . Por exemplo, os círculos são definidos como .(x1−a1)2+(x2−a2)2−1≤0
Podemos vincular uma quantidade que é mais delicada que a dimensão VC neste modelo. Defina como o número máximo de conjuntos distintos induzidos por { S ( a ) } em qualquer conjunto de m pontos, ou seja, π ( m ) = max X ⊆ R d | { S ( a ) ∩ X } | , onde o máximo é assumido define X de m pontos. Isto é oπ(m) {S(a)} m
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