Dimensão VC de polinômios (em uma variável) de grau d

8

Funções lineares em uma variável têm dimensão VC = 3 e eu lembro de ler em algum lugar que o VC para polinômios de grau é .d(d2+3d+2)/2

Estou procurando idéias que possam provar a afirmação acima (e talvez generalize também para muitas variáveis, embora isso pareça esperar demais).

Qualquer abordagem, mesmo incompleta, será apreciada.

Para definir o problema corretamente: Dado um plano (coordenadas 2D, x e y), qual é o tamanho do conjunto máximo que pode ser quebrado se você puder usar funções de classificação polinomiais ( ) de grau no modo , e você pode escolher qual lado da curva deseja rotular positivo.y=p(x)d

Por exemplo, rotule (x, y) como positivo se .y>x2+5x+9

Karan
fonte
1
Não trabalho na área, mas gostaria de entender a pergunta. Qual é o domínio e o alcance dessas funções? Você poderia explicar um pouco como as funções lineares em uma variável têm a dimensão 3 do VC?
22612 Robin Bottai
2
A declaração é melhor reformulada como: espaços de intervalo definidos por intervalos que podem ser expressos como desigualdadesf(x)0 que f (x) é uma função linear têm a dimensão 3 de VC (isso ocorre porque esse espaço de intervalo é o espaço de intervalo de espaços meia em 2D)
Suresh Venkat
1
@ Suresh: Obrigado pelo esclarecimento. Da sua resposta que eu acho que a pergunta geral feita é qual a dimensão VC de espaços intervalo definido pelo grau-d (em vez de linear) funções , onde x R n , em vez de R 2 . f(x)0xRnR2
22612 Robin Kothari

Respostas:

8

O método básico funciona assim: Suponha que suas desigualdades sejam da forma

idaixi0

Em seguida, você constrói um mapa de elevação para um espaço de maior dimensão, em que cada monômio corresponde a uma dimensão. Agora, o polinômio pode ser expresso como uma combinação linear das novas dimensões e você pode chamar o resultado usual para meios espaços no espaço resultante.

Não tenho certeza de onde você se identifica: a expressão correta para a dimensão VC de polinômios em d variáveis ​​de grau D é , que é o número de monômios de grau no máximo D formado a partir de d variáveis.(d+Dd)

Suresh Venkat
fonte
Direita. Mas o OP não disse quantas variáveis ​​havia.
Suresh Venkat
Minhas desigualdades envolvem y e um polinômio em x. Fiz algumas alterações no problema, esperando definir o problema com mais precisão.
22412 Karan
E acc. para o problema que afirmei, as quadráticas em x devem quebrar pelo menos 4 pontos (que eu posso ver) e acc. para a fórmula que dei, deve quebrar 6 pontos! (não sei se ele mantém embora)
Karan
A fórmula é um limite superior.
Suresh Venkat
1
No seu problema modificado, a resposta é D + 1
Suresh Venkat
5

O seguinte é baseado no livro de Discrepância Geométrica de Jiri Matousek .

Definir um espaço de intervalo em parametrizada por um 1 , ... , um p como se segue. Seja f um polinômio grau D em variáveis d + p . Para cada a R p , o conjunto S ( a ) é definido como S ( a ) = { x R d : f ( x , a ) 0 }Rda1,,apfDd+paRpS(a)S(a)={xRd:f(x,a)0}. Por exemplo, os círculos são definidos como .(x1a1)2+(x2a2)210

Podemos vincular uma quantidade que é mais delicada que a dimensão VC neste modelo. Defina como o número máximo de conjuntos distintos induzidos por { S ( a ) } em qualquer conjunto de m pontos, ou seja, π ( m ) = max X R d | { S ( a ) X } | , onde o máximo é assumido define X de m pontos. Isto é oπ(m){S(a)}m

π(m)=maxXRd|{S(a)X}|,
Xmfunção primária de quebra do espaço do intervalo . Observe que a dimensão VC do espaço do intervalo é aquele máximo m tal que π ( m ) = 2 m . Além disso, se a dimensão VC de um espaço de intervalo for k , sua função de quebra será limitada por O ( m k ) .{S(a)}mπ(m)=2mkO(mk)

mf1(a),,fm(a)σ=(σ1,,σm){,+}maifi(a)σimDp2O(p)(Dm/p)p

fi(a)=f(xi,a)|{S(a)X}|f1,,fmpO(mp)

Sasho Nikolov
fonte