Coloração plana incorreta com componente monocromático de tamanho

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Vamos relaxar um pouco a coloração, ou seja, permitimos que um pequeno número de vértices adjacentes seja atribuído à mesma cor. Um componente monocromático é definido como um componente conectado no subgráfico induzido pelo conjunto de vértices que recebem a mesma cor, e a questão é solicitar o número mínimo de cores necessárias para colorir um gráfico, de modo que o maior componente monocromático tenha não mais do que o tamanho . λC
A coloração tradicional pode ser considerada como -coloring nesta configuração. Portanto, encontrar o número mínimo de é NP-difícil para o gráfico planar em geral. [λ,1]λ

Minha pergunta é: que tal -coloring de gráficos planares , ou mais geralmente, -coloring para ?[λ,2][λ,C]C2

Isto pode ser visto como um duplo problema do que é estudado por Edwards e Farr , onde é fixo, e um é convidado a encontrar o tamanho mínimo de .λC

Yixin Cao
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Respostas:

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A correspondência perfeita de duas cores nos gráficos planares cúbicos é muito semelhante ao seu problema, que foi declarado completo por NP por Schaefer em seu famoso artigo sobre o teorema da dicotomia, embora ele não tenha demonstrado os gráficos planares cúbicos. O problema pede a existência de duas cores de gráficos planares cúbicos, de modo que todo vértice tenha exatamente um vizinho da mesma cor que ele.

EDIT: Coloração defeituosa é a versão de decisão do seu problema. Um gráfico é (k, d) colorido, se é possível colorir os vértices com k cores, de modo que nenhum vértice fique adjacente a mais de d vértices da mesma cor. A coloração do problema de decisão (2,1) com defeitos, equivalente ao seu problema de otimização, mostrou-se NP-completa, mesmo para gráficos planares .

Mohammad Al-Turkistany
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O que é uma redução de "correspondência perfeita de 2 cores em gráficos planares cúbicos" para o problema de Yixin?
Correspondência perfeita 2-ilusório é um caso especial em que o máximo conectado tamanho do componente exatamente igual a C.
Mohammad Al-Turkistany
Obrigado pela sua resposta, mas não posso concordar com você. Como no problema "correspondência perfeita de duas cores em gráficos planares cúbicos", CADA componente precisa ser exatamente 2. Mas minha pergunta parece mais fácil.
Yixin Cao
Sim, eu perdi essa diferença.
Mohammad Al-Turkistany