Trocas de presentes de elefantes brancos: mecanismos para divisão justa

Um jogo popular em festas na América do Norte é a troca de presentes de elefantes brancos . Resumindo (ignorando variações), funciona da seguinte maneira:

Existem pessoas e presentes embrulhados. Os jogadores são ordenados arbitrariamente. No rodada, jogador i quer$n$$n$$i^{\text{th}}$$i$

• escolhe um presente embrulhado e o desembrulha como presente
• "rouba" um dos presentes já abertos (de algum jogador $k < i$ ).

Se o presente de um jogador é roubado, ele agora tem a oportunidade de fazer a mesma coisa. Uma rodada é concluída quando um jogador escolhe um presente embrulhado.

Embora existam muitas variações no sistema, um ponto a ser observado é que o último jogador tem uma vantagem injusta, porque é garantida a capacidade de escolher qualquer presente desembrulhado .

Isso se enquadra na classe de métodos de divisão justa relativos a bens indivisíveis (diferentemente do corte de bolos).

Minhas perguntas são:

Existem mecanismos para desembolsar os presentes que são justos (em que cada jogador tem a mesma oportunidade de escolher um presente de alto valor sob sua avaliação)?

Observe que será necessária alguma flexibilidade na definição de justo, pois os produtos são indivisíveis e não estamos introduzindo compensação monetária para os jogadores.

Esta não é uma resposta completa, mas é incompleta.

Alguns antecedentes e afins são iluminados para aqueles que não estão familiarizados -

Uma boa propriedade seria a inveja, na qual nenhum jogador gostaria de negociar com outro depois que o mecanismo estivesse completo. Infelizmente, para bens indivisíveis e sem dinheiro, podemos ver que isso é impossível (pode haver um bem que duas pessoas achem melhor). A outra propriedade comum é a proporcionalidade, onde todos recebem o que consideram um valor superior a ; isso também é claramente impossível de obter sempre (pode haver um item que ninguém deseja, mas alguém deve acabar com ele).$1/n$

[1] concentra-se em calcular a alocação mínima de inveja em um cenário de bens indivisíveis. Eles mostram que um mecanismo de inveja mínima não pode ser verdadeiro. No entanto, ainda podemos projetar um jogo com um bom preço de estabilidade (mesmo que os jogadores não sejam sinceros).

[2] aplique o critério de "justiça max-min". A idéia é considerar a função de avaliação de cada jogador sobre subconjuntos dos itens, normalizando-a para um em todo o conjunto, e encontrar a alocação que maximize a utilidade mínima de qualquer agente. Mais uma vez, porém, eles não consideram nossa configuração aqui com demanda por unidade. Outros estudam algoritmos de aproximação para esse problema, mas não sei se alguém considerou essa restrição.

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Vale a pena notar que geralmente as noções de justiça são extremamente piores: um mecanismo é geralmente (talvez nem sempre?) Considerado livre de inveja se todo jogador tiver uma estratégia que garanta que não invejará a alocação de nenhum outro. Se ela está jogando para maximizar sua utilidade esperada, pode ou não acabar com inveja. O mesmo vale para a proporcionalidade.

Por causa disso, é complicado tentar relaxar essas noções de uma maneira natural quando adotada com essa abordagem filosófica da divisão justa. Pode ser tentador definir um critério como "ausência de inveja ex ante", na qual esperamos não ter inveja na expectativa (o que isso significa). No entanto, acho que isso realmente seria desencadear uma nova trilha da filosofia atual. Se alguém fizesse isso, acho que deveríamos jogar fora noções de ausência de inveja ou proporcionalidade e começar a pensar em como os maximizadores de utilidade esperados jogariam esses jogos de divisão justa em primeiro lugar.

$n$$\frac{1}{n}$

Para contornar isso, acho que devemos considerar os critérios ordinais. Proponho o seguinte como um relaxamento "natural":

$(\varepsilon,\delta)$$1-\varepsilon$$\delta n$

$(\varepsilon,\varepsilon)$$\varepsilon$$\varepsilon n$$\varepsilon n$

$(\varepsilon,\varepsilon)$$\varepsilon$

$(\varepsilon,\varepsilon)$

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[1] Lipton, Markakis, Mossel, Saberi. "Sobre alocações aproximadamente justas de bens indivisíveis". CE 2004.

[2] Bezakova, Dani. "Alocação de bens indivisíveis". SIGECOM 2005.

[3] Bem, o ditador serial aleatório também é, mas o ditador serial aleatório geralmente possui boas propriedades na teoria. Também estou assumindo que cada item só pode ser roubado uma vez por rodada.

Grande parte da experiência de troca de presentes com elefantes brancos também é controlada por seleção aleatória. Uma variação popular inclui a regra que as primeiras escolhas duram, mas que nem sempre é incluída na regra. Isso tira a vantagem injusta de ser selecionado aleatoriamente primeiro fora da equação. Outra regra exige que não haja "roubos" diretos no jogo. Além disso, a maioria dos jogos é jogada com uma regra de "três toques", que diz que uma vez aberto, depois roubado uma vez e depois roubado duas vezes, fica congelado devido a roubos futuros. Essa regra cria outro nível de vantagem injusta para aqueles que escolhem escolher um presente que foi tocado duas vezes.

Nosso especialista em recreação, como AlbinoPhant, estuda esses jogos de troca de presentes o ano todo. Se você deseja adicionar uma dimensão aleatória extra ao jogo, use uma história Esquerda-Direita dentro do jogo. A história de Lefty, o Elefante Branco, é sugerida como uma amostra.

O benefício real da troca de presentes nessa atividade é o engajamento social que esse processo produz - Os presentes geralmente são secundários à diversão de grandes brincadeiras. No entanto, todos os jogadores saem com algum nível de recompensa de presente.

$n$$G$$G$$n$$n$

$\Omega(\log n)$

Bem, o descrito acima descreve o que teríamos feito se os jogadores estivessem interessados ​​na teoria espectral dos grafos e / ou na computação de inversos modulares :) Na verdade, nós apenas jogamos da maneira normal.