Uma extensão do operador de ruído

Em um problema em que estou trabalhando, uma extensão do operador de ruído surge naturalmente e fiquei curioso para saber se houve trabalho anterior. Primeiro, deixe-me revisar o operador de ruído básico $T_{\varepsilon}$ nas funções booleanas com valor real. Dada uma função e , st , , definimos como T _ {\ varepsilon} f (x) = E_ {y \ sim \ mu_p} [f (x + y)]$f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\varepsilon$$p$$0 \leq \varepsilon \leq 1$$\varepsilon = 1 - 2p$$T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$$T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ é a distribuição em $y$ obtida pela configuração de cada bit de um vetor de $n$ bits como $1$ independentemente, com probabilidade $p$ e $0$ caso contrário. Equivalentemente, podemos pensar nesse processo como lançando cada bit de $x$ com probabilidade independente $p$ . Agora, esse operador de ruído possui muitas propriedades úteis, incluindo ser multiplicativo $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ e ter bons autovalores e autovetores ( $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ onde $\chi_S$ pertence à base de paridade).

Deixe-me agora definir minha extensão de $T_\varepsilon$ , que eu designo como $R_{(p_1,p_2)}$ . $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ é dado por $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ . Mas aqui nossa distribuição $\mu_{p,x}$ é tal que alteramos os $1$ bits de $x$ para $0$ com probabilidade $p_1$ e $0$ bits de $x$ para $1$ com probabilidade $p_2$ . ( $\mu_{p,x}$ agora é claramente uma distribuição dependente de $x$ que a função é avaliada e se $p_1 = p_2$então $R_{(p_1,p_2)}$ reduz para o operador de ruído 'regular'.)

Eu estava pensando, esse operador $R_{(p_1,p_2)}$ já foi bem estudado em algum lugar da literatura? Ou são óbvias as propriedades básicas disso? Estou apenas começando com a análise booleana, então isso pode ser direto para alguém mais familiarizado com a teoria do que eu. Em particular, estou interessado em saber se os autovetores e autovalores têm alguma boa caracterização ou se existe alguma propriedade multiplicativa.

Vou responder a segunda parte da pergunta.

I. Valores próprios e funções próprias

Vamos primeiro considerar o caso unidimensional . É fácil verificar se o operador possui duas funções próprias: e com os autovalores e , respectivamente.R p 1 , p 2 1 ξ ( x ) = ( p 1 + p 2 ) x - p 1 = { - p 1 ,  se  x = 0 , p 2 ,  se  x = 1. 1 1 - p 1 - p $n=1$$R_{p_1,p_2}$$1$

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ $1$$1-p_1 - p_2$

Agora considere o caso geral. Para , deixe . Observe que é uma função própria de . De fato, como todas as variáveis são independentes, temos ξ S ( x ) = ∏ i ∈ S ξ ( x i ) ξ S R p 1 , p 2 x i R p 1 , p 2 ( ξ ( x ) $S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$$\xi_S$$R_{p_1,p_2}$$x_i$

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

Concluímos que é uma função própria de com valor próprio para cada . Como as funções abrangem todo o espaço, não possui outras funções próprias (que não são combinações lineares de ).R p 1 , p 2 ( 1 - p 1 - p 2 ) | S | S ⊂ { 1 , … , n } ξ S ( x ) R p 1 , p 2 ξ S ( x $\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$(1-p_1-p_2)^{|S|}$$S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$\xi_S(x)$

II Propriedade multiplicativa

Em geral, a “propriedade multiplicativa” não se aplica a pois a base própria de depende de e . No entanto, temos que e . Para verificar isso, primeiro observe que e têm o mesmo conjunto de funções próprias . Temos, desde R p 1 , p 2 p 1 p 2 R 2 p 1 , p 2 = R p ′ 1 , p ′ 2 , p ′ 1 = 2 p 1 - ( p 1 + p 2 ) p 1 p ′ 2 = 2 p 2 - ( p $R_{p_1,p_2}$$R_{p_1,p_2}$$p_1$$p_2$

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ $p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$R p 1 , p 2 R p ′ 1 , p ′ 2 { ξ S } R 2 p 1 , p 2 ( ξ S ) = ( 1 - p 1 - p 2 ) 2 | S | ξ S = ( 1 - p ′ 1 - p $p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$$R_{p_1,p_2}$$R_{p_1',p_2'}$$\{\xi_S\}$ 1 - p ′ 1 - p ′ $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

III Relação com o operador Bonami — Beckner

Vamos pensar nas funções de a como polinômios polilineares. Deixe . Considere o operador Ele mapeia todo polinômio multilinear para um polinômio multilinear . Temos, que . Observe que as partes I e II seguem essa fórmula e propriedades do operador Bonami-Beckner.$\{0,1\}^n$${\mathbb R}$$\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ $f$$A[f]$ $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$

$R_{p_1, p_2}$$R_{p,0}$

$R_{p,0}$$f$$\ell_2$$f$$\mu$$p$