Como uso o pedido canônico para reduzir a simetria na codificação SAT do problema do buraco de pombo?

No artigo "Codificação eficiente de CNF para selecionar 1 de N objetos", os autores apresentam sua técnica de "variável de comando" para codificar a restrição e depois falam sobre o problema do buraco de pombo.

Como meu erro pode existir no entendimento de nível inferior, deixe-me declarar o que acho que sei antes de fazer a pergunta:

Seja e n o número de pombos e buracos. A codificação ingénuo utiliza uma variável proposicional X i , j que é verdadeiro quando o i ' t h pombo é para ser colocado na j ' t h furo. A cláusula E x um c t l y ó n e ( X 1 , 1 , X 1 , 2 , . . . , X 1 , n$m$$n$$X_{i,j}$$i'th$$j'th$$ExactlyOne(X_{1,1}, X_{1,2}, ..., X_{1,n})$reforça que o pombo 1 deve ocupar exatamente um buraco; cláusulas idênticas são adicionadas para os outros pombos. A cláusula Impõe que não mais do que um pombo ocupa um orifício; cláusulas idênticas são adicionadas para os orifícios restantes.$AtMostOne(X_{1,1}, X_{2,1}, ..., X_{m,1})$

Quando há mais pombos do que buracos (m> n), o problema é insolúvel (óbvio para os seres humanos), mas o solucionador SAT não "vê" esse fato. Quando ele não pode encontrar uma maneira de colocar pombos ele irá procurar uma tentativa com pombos 2 , 1 , 3 , . . . , M . Não entende que a ordem dos pombos é irrelevante. O artigo, entre outros, chama isso de simetria.$1,2,3,..,m$$2,1,3,...,m$

Instâncias em que são usadas como um teste extenuante da capacidade de um solucionador SAT de detectar insatisfação.$m=n+1$

O artigo propõe quebrar a simetria impondo ordem aos pombos. O pombo deve ser colocado em um buraco na frente do buraco do pombo i + 1 (ou seja, o pombo no buraco j deve ter um número menor que o do pombo no buraco j + 1 ). Em seguida, ele diz decepcionantemente: "Devido a limitações de espaço, não descrevemos explicitamente em detalhes a codificação de ordem canônica, mas o número de cláusulas geradas é da ordem O ( n ∗ l o g ( n ) ) ".$i$$i+1$$j$$j+1$$O(n*log(n))$

Então, minha pergunta é: o que eles fizeram para obter esses resultados?

Quero tratar as variáveis como uma sequência de bits que, numericamente, identifica a escolha de qual pombo entrou no buraco 1 e assim por diante. Siga isso com n - 1 comparadores para reforçar a sugestão do artigo. Minha construção ingênua de comparador, no entanto, exige cláusulas m, uma para cada bit (de tamanho cada vez mais feio). Socorro! :)$\{X_{1,1}, X_{2,1}, ..., X_{m,1}\}$$n-1$

Seja o número de pombos en seja o número de buracos. Deixe as variáveis proposicional B i , 0 ... B i , l ó g ( n ) codificam a representação binária de j - 1 , se o i th pombo é colocado na j th furo. (Exemplo, se o pombo 1 fosse colocado no buraco 10, j - 1 = 9 , que é o binário 1001. Então, B 1 , 3 = verdadeiro, B 1 , $m$$n$$B_{i,0}$$B_{i,log(n)}$$j-1$$i$$j$$j - 1 = 9$$B_{1,3}$$B_{1,2}$= falso, = falso e B 1 , 0 = verdadeiro.)$B_{1,1}$$B_{1,0}$

Aplique uma ordem específica dos pombos nos orifícios, exigindo que o orifício codificado pelas variáveis seja menor que o de B i + 1 . As codificações são comparadas conforme o esperado:$B_{i}$$B_{i+1}$

< B i + 1 , l ó g ( n ) OU B i , l ó g ( n ) = B i + 1 , l ó g ( n ) E B i , l ó g ( n ) - 1 < B i + $B_{i,log(n)}$$B_{i+1,log(n)}$

$B_{i,log(n)}$$B_{i+1,log(n)}$$B_{i,log(n)-1}$ OU B i , l o g ( n ) = B i + 1 , l o g ( n ) AND B i , l o g ( n ) - 1 = B i + 1 , l o g ( n ) - 1 e B $B_{i+1,log(n)-1}$

$B_{i,log(n)}$$B_{i+1,log(n)}$$B_{i,log(n)-1}$$B_{i+1,log(n)-1}$ < B i + 1 , l o g ( n ) - 2 OR ... $B_{i,log(n)-2}$$B_{i+1,log(n)-2}$

... seguindo o padrão de permitir que os bits mais significativos sejam equivalentes desde que o próximo bit à direita seja menor que o do próximo pombo. Haverá conjunção por comparador e S ( m ) comparadores, dando o esperado ó ( m * l S g ( n ) ) cláusulas adicionais.$O(log(n))$$O(m)$$O(m * log(n))$

Os valores da variável devem estar implícitos nos valores X i , j . Cada B i , * pouco está implícito por qualquer um de um conjunto particular de o X i , j variáveis sendo conjunto. Exemplo: supondo que n = 16 , você teria:$B$$X_{i,j}$$B_{i,*}$$X_{i,j}$$n = 16$

$ExactlyOne(X_{1,9}, X_{1,10}, X_{1,11}, X_{1,12}, X_{1,13}, X_{1,14}, X_{1,15}, X_{1,16}, \overline{B_{1,3}})$

o que força verdadeiro se o pombo 1 for colocado em qualquer um dos orifícios 9-16. Caso contrário, B 1 , 3 é definido como falso para satisfazer a cláusula. Estas cláusulas definir os restantes B i pedaços.$B_{1,3}$$B_{1,3}$$B_{i}$

$ExactlyOne(X_{1,5}, X_{1,6}, X_{1,7}, X_{1,8}, X_{1,13}, X_{1,14}, X_{1,15}, X_{1,16}, \overline{B_{1,2}})$ $ExactlyOne(X_{1,3}, X_{1,4}, X_{1,7}, X_{1,8}, X_{1,11}, X_{1,12}, X_{1,15}, X_{1,16}, \overline{B_{1,1}})$ $ExactlyOne(X_{1,2}, X_{1,4}, X_{1,6}, X_{1,8}, X_{1,10}, X_{1,12}, X_{1,14}, X_{1,16}, \overline{B_{1,0}})$

$log(n)$$m$$m * log(n)$