Fórmula restrita de monótonos 3CNF: contando tarefas satisfatórias (módulo

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Considere uma fórmula Monotone 3CNF com as duas restrições adicionais a seguir:

  • Cada variável aparece em exatamente cláusulas.2
  • Dadas cláusulas, elas compartilham no máximo variável.21

Eu gostaria de saber o quão difícil é contar as tarefas satisfatórias dessa fórmula.


Atualização 06/04/2013 12:55

Eu também gostaria de saber o quão difícil é determinar a paridade do número de tarefas satisfatórias.


Atualização 11/04/2013 22:40

E se, além das restrições descritas acima, também introduzirmos as duas restrições a seguir:

  • A fórmula é plana.
  • A fórmula é bipartida.

Atualização 16/04/2013 23:00

Cada tarefa satisfatória corresponde a uma cobertura de borda de um gráfico de . Após uma extensa pesquisa, o único artigo relevante que pude encontrar sobre as capas das bordas é o (3) já mencionado na resposta de Yuval. No início desse artigo, os autores dizem "Nós iniciar o estudo de amostragem (e a questão conexa de contar) de todas as tampas beira de um gráfico" . Estou muito surpreso que esse problema tenha recebido tão pouca atenção (em comparação com a contagem de capas de vértices, que é amplamente estudada e muito melhor compreendida, para várias classes de gráficos). Não sabemos se a contagem de capas de arestas é difícil. Não sabemos se a determinação da paridade do número de capas de borda é3#PP-hard também.


Atualização 09/06/2013 07:38

A determinação da paridade do número de capas de arestas é -hard, verifique a resposta abaixo.P

Giorgio Camerani
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Eu acho que é mais interessante se você restringir a literais em vez de variáveis.
Tayfun Pay
3
@ Tayfun Como a fórmula é monótona, são equivalentes.
Tyson Williams
@TysonWilliams Obrigado Não devo comentar sobre as coisas quando estou com sono.
Tayfun Pay
2
#P
@Downvoter: Por quê?
Giorgio Camerani

Respostas:

6

Em qualquer gráfico, a paridade do número de capas de vértices é igual à paridade do número de capas de arestas.

|C|Δ|V|=O|V|-E|V|O|V|+E|V|

Pelo menos a segunda metade da questão foi resolvida.

Giorgio Camerani
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3

Seu problema provavelmente é # P-completo, embora eu não tenha sido capaz de encontrá-lo na literatura.

Outra maneira de indicar seu problema é "# 3-regular-edge-cover". Dada uma fórmula, construa um gráfico no qual cada cláusula corresponda a um vértice e cada variável corresponda a uma aresta. Como a fórmula é 3CNF, o gráfico é 3-regular (ou possui o grau máximo 3, dependendo da definição). Além disso, o gráfico é simples. Uma tarefa satisfatória é igual a uma cobertura de borda.

Aqui estão alguns problemas relacionados:

Yuval Filmus
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11
Não vejo como o # Monotone3CNF dele é o mesmo que o # 1-Ex3MonoSAT. Não importa, o fato de que o problema posterior quer que exatamente um literal seja satisfeito. Ele deseja as fórmulas Monotone 3 CNF de modo que cada variável apareça exatamente em duas cláusulas e cada cláusula compartilhe no máximo 1 variável. Não existe essa restrição no # 1-Ex3MonoSAT.
Tayfun Pay
2
Tentei transmitir essa diferença usando a palavra "somente", mas concordo que essa não é a melhor escolha possível de palavras.
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