Complexidade da computação à distância média de um gráfico

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Deixe ad(G) é a distância média de um gráfico conectado G.

Uma maneira de calcular ad(G) é somando os elementos de D(G), a matriz de distância de G e escalando a soma adequadamente.

Se o gráfico de saída for uma árvore, sabe-se que a distância média pode ser calculada em tempo linear (consulte B.Mohar, T.Pisanski - Como calcular o índice de Wiener de um gráfico). Parece haver algoritmos rápidos para gráficos com largura de árvore limitada também.

Uma pergunta interessante, portanto, é se isso ajuda a conhecer D(G).Em outras palavras

É possível calcular ad(G) em tempo sub-quadrático?

O que eu estou interessado em saber é se existe um limite inferior teórico de por que isso não seria possível.

Jernej
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Juntamente com o resultado da largura da árvore delimitada que você menciona (Cabello e Knauer, "Algoritmos para gráficos de largura da árvore delimitada por meio de pesquisa de faixa ortogonal", Comp. Geom. 2009), é conhecido como calcular isso rapidamente para gráficos isometricamente incorporáveis ​​em produtos cartesianos de árvores ( que acaba sendo relevante para algoritmos de gráficos químicos) - consulte Yeh e Gutman, "Sobre a soma de todas as distâncias em gráficos compostos", Matemática Discreta. 1994, e Chepoi e Klavžar, "O índice Wiener e o índice Szeged de sistemas benzenoides em tempo linear", JCICS 1997.
David Eppstein

Respostas:

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O(n2δ)δ>0O~(n)nnO(2(1ε)n)

Para provar isso, observe que recentemente provamos em (Algoritmos de aproximação rápida para o diâmetro e o raio de gráficos esparsos, Liam Roditty, V. Vassilevska Williams. STOC'13.) Que se é possível distinguir entre gráficos de diâmetro 2 e 3 em subquadrática tempo, então SETH é falso. A prova passa por uma redução do CNF-SAT. A mesma redução pode ser usada para mostrar que o anúncio de computação (G) em tempo subquadrático mostra que SETH é falso, pois a distância média nos gráficos na redução seria (onde e são o número de nós e arestas na instância de redução) se a instância CNF-SAT não for satisfatória e mais que isso se houver uma atribuição satisfatória.2M/(N2)NM

virgi
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