A hierarquia entra em colapso?

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Sabemos que a hierarquia não colapso ( para todos os d )?TC0 dTCd0TCd+10d

A entrada Zoo para TC0 menciona apenas a separação entre as profundidades 2 e 3.

Também existe uma referência padrão para o fato de que a hierarquia ACd0 não diminui ?

Kaveh
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Uma pergunta relacionada seria: quantas funções distintas existem em ACd0 / TCd0 ? Um limite inferior razoável dessas quantidades responderia às suas perguntas. Também uma prova de aperto no lema de comutação de Hastad talvez respondesse à sua segunda pergunta.
MCH
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Para a segunda pergunta, acredito que foi comprovada pela primeira vez no artigo STOC '83 da Sipser "Conjuntos de Borel e complexidade do circuito" . Isso apenas fornece limites inferiores super-polinomiais. Os primeiros limites exponenciais inferiores foram dados por Yao, posteriormente aprimorados por Håstad.
Robin Kothari
@MCH, você quis escrever TCd0/ACd0 ? Ou você quer dizer o número de classes de equivalência de problemas nas TCd0 wrt ACd0 ?
Kaveh
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O que quero dizer é muito simples: quantas funções distintas a classe de circuitos de tamanho representa? (Podemos estimar o número de circuitos com muita facilidade, mas devemos ter cuidado para que alguns deles possam calcular a mesma função.) Depois de mostrar que essa quantidade cresce com , está pronto. ACd0dsd
MCH
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@Dilworth, não uniforme. A contagem parece não funcionar, caso contrário, como observei abaixo, poderíamos separar de que está aberto. N C 1TC0NC1
Kaveh

Respostas:

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Não conhecemos limites inferiores bons (ou seja, um limite superpolinomial para um idioma em ) para circuitos de limite de profundidade 2 (pesos ilimitados). Os circuitos da profundidade 3 construídos a partir dos portões majoritários, ou seja, contêm essa classe e, portanto, também não sabemos limites bons para essa classe.T C 0 3NEXPTC30

Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Isso responde à minha pergunta. Obrigado Kristoffer.
Kaveh
Como escrevi no comentário acima, mesmo que não se saiba que um problema no NEXP esteja fora do TC , ainda não é possível que a hierarquia não uniforme do TC seja adequada por meio de um argumento de contagem no limite inferior? 0200
Dilworth
Além disso, posso perguntar, como isso é consistente com os limites inferiores exponenciais conhecidos em TC e a separação dos circuitos de limiar de profundidade 3 e profundidade 2, conforme relatado no zoológico de complexidade? Estou esquecendo de algo? 20
Dilworth
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@ Dilworth, acho que é porque é definido usando Maioria e não Limiar.
Kaveh
Hmm .. o que você quer dizer com precisão? Isso está relacionado à observação feita por Kristoffer sobre "pesos ilimitados"?
Dilworth
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Se não estou , parece que provar que a hierarquia não colapso é pelo menos tão difícil quanto separar de : N C 1 T C 0TCd0NC1TC0

Vamos denotar o problema de avaliação de fórmula booleana pelo . está completo para em .B F E N C 1 A C 0BFEBFENC1AC0

Por Manindra Agrawal, Eric Allender e Steven Rudich, " Reduções na complexidade do circuito: um teorema de isomorfismo e um teorema de lacuna ", 1999, o está completo para em .N C 1 A C 0 2BFENC1AC20

Suponha . Então para alguns . Portanto, . O que significa que . B F E T C 0 d d N C 1T C 0 d + 2 T C 0T C 0 d + 2NC1=TC0BFETCd0dNC1TCd+20TC0TCd+20

Então, para todos temosd

N C 1T C 0 d + 2 B F E T C 0 dTC0TCd0 implica e .NC1TCd+20BFETCd0

Kaveh
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