Estou tentando encontrar um gráfico com essas propriedades para meus estudos, mas infelizmente não consigo encontrar esse gráfico.
Alguém sabe se existe esse gráfico ou por que é impossível existir?
graph-theory
graph-classes
Rafael Oliveira Lopes
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Respostas:
Suponha que é um gráfico de círculo sem triângulo e sem estrelas. Mostrarei que não contém vértices com grau maior que 2. Portanto, possui no máximo arestas.G G nG G G n
Considere-se uma representação do círculo de . Um conjunto de acordes é paralelo se nenhum deles se cruzar, mas houver uma linha cruzando todos os acordes.GC G
Propriedade 1 : não possui 3 acordes paralelos.C
Prova . Suponha que tenha 3 acordes paralelos. Conduza o vértice correspondente ao acorde do meio. Então, é um cutset. Isso prova a propriedade.v N [ v ]C v N[v]
Por uma questão de contradição, suponha que tenha um vértice de grau pelo menos 3. Em seguida, o acorde correspondente a cruza outros 3 acordes. Como esses três acordes cruzam uma linha, eles são paralelos ou dois deles se cruzam. Devido à Propriedade 1, dois deles se cruzam, o que significa que seus vértices formam um triângulo com , o que contradiz ser livre de triângulo.v v v GG v v v G
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Não, esse gráfico não existe. Para ver por que não, suponha que tenhamos um gráfico circular definido por um conjunto de acordes sem triângulo. Seja o número de vértices do gráfico circular (ou o número de acordes) e seja o número de arestas do gráfico (cruzamentos de dois acordes). Então, uma fácil indução do número de acordes mostra que a disposição dos acordes tem exatamente faces. No entanto, existem no máximo faces que tocam o círculo (menos se algumas faces tocam o círculo mais de uma vez); portanto, se , deve haver pelo menos duas faces internas do arranjo. Seja caminho mais curto no gráfico duplo do arranjo (um gráfico quadradom m + n + 1 2 n m > n p cn m m+n+1 2n m>n p ) de uma face para outra e seja qualquer acorde duplo com uma aresta de . Em seguida, o conjunto de estrelas induzido por separa alguns dos acordes que limitam a face em uma extremidade de de alguns dos acordes que limitam a face na outra extremidade.c c pp c p
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