Editar : Como Ravi Boppana corretamente apontou em sua resposta e Scott Aaronson também acrescentou outro exemplo em sua resposta , a resposta a essa pergunta acabou sendo "sim" de uma maneira que eu não esperava. Primeiro, pensei que eles não responderam à pergunta que eu queria fazer, mas, depois de pensar um pouco, essas construções respondem a pelo menos uma das perguntas que eu queria fazer, ou seja: “Existe alguma maneira de provar um resultado condicional? P = NP ⇒ L ∈P 'sem provar o resultado incondicional L ∈PH? ”Obrigado, Ravi e Scott!
Existe um problema de decisão L tal que as seguintes condições sejam atendidas?
- L não é conhecido por estar na hierarquia polinomial.
- Sabe-se que P = NP implicará L ∈P.
Um exemplo artificial é tão bom quanto um exemplo natural. Além disso, embora eu use a letra " L ", pode ser um problema de promessa em vez de um idioma, se ajudar.
Background . Se sabemos que um problema de decisão L está na hierarquia polinomial, sabemos que “P = NP ⇒ L ∈P”. A intenção da pergunta é perguntar se o inverso é válido. Se existir um idioma L que satisfaça as duas condições acima, ele pode ser considerado uma evidência de que o inverso falha.
A pergunta foi motivada pelo interessante comentário de Joe Fitzsimons à minha resposta à pergunta de Walter Bishop, “ Consequências de #P = FP ”.
fonte
Respostas:
Como você não se importa com uma linguagem artificial, que tal definir como vazio se P for igual a NP e como o Problema de Parada se P não for igual a NP. Ok, é meio trapaceiro, mas acho que você precisará reformular o problema para evitar esses truques.eu
fonte
Se um exemplo artificial é realmente tão bom quanto um exemplo natural, posso realmente fornecer um exemplo!
Edit: Além disso, meu exemplo é "um pouco" menos trapaceiro do que o sugerido por Ravi Boppana (onde consideramos L como o idioma vazio se P = NP e o problema de parada do contrário), pois definirei o idioma L, fornecendo um procedimento finito para decidir se L para qualquer entrada x. Em nenhum momento será decidido se x∈L requer a solução de uma questão matemática "ilimitada", como P vs. NP.x ∈
Sem mais delongas: deixar ser uma enumeração de máquinas polytime Turing. Para todos os n , deixar M t ( n ) ser o primeiro lexicograficamente H i que decide correctamente 3SAT em todas as entradas de comprimento n ou menos. Em seguida, defina a linguagem L da seguinte maneira: para todas as entradas x de tamanho n , x ∈ L se e somente se a máquina de Turing codificada por x parar no máximo n t ( n )M1, M2, . . . n Mt ( n ) MEu n x n x∈ x nt(n) etapas quando executado em uma fita em branco.
Reivindicação 1: Se P = NP, então L P.∈
Prova: Se P = NP, então há alguns fixo que resolve 3SAT para todas as entradas; portanto t ( n ) ≤ i para todos os n . QEDMi t(n)≤i n
Reivindicação 2: Se P NP, então L ∉ P.≠ ∉
Prova: Se aumenta sem limite, podemos simplesmente aplicar o Teorema da Hierarquia de Tempo. QEDt(n)
Agora, L não está apenas em P assumindo P NP: presume-se que não estaria em PH (ou mesmo no PSPACE)!≠
Aliás, eu me pergunto se alguém pode melhorar a construção acima, para obter uma linguagem L que está em P se P = NP, mas provavelmente não em PH ou PSPACE se P NP?≠
fonte
Respondendo a pergunta de Scott Aaronson, mas um pouco demasiado tempo para um comentário, aqui é uma construção de uma linguagem tal que P = N P implica L ∈ P , mas P ≠ N P implica L ∉ P H .L P=NP L∈P P≠NP L∉PH
fonte