Estou tentando entender a qual classe de complexidade o seguinte problema pertence:
Problema de raiz polinomial exponencial (EPRP)
Seja um polinômio com deg ( p ) ≥ 0 com coeficientes extraídos de um campo finito G F ( q ) com q um número primo e r uma raiz primitiva para esse campo. Determine as soluções de: p ( x ) = r x (ou equivalente, os zeros de p ( x ) - r x ) em que r x significa exponenciar r .
Observe que, quando (o polinômio é uma constante), esse problema reverte para o Problema do Logaritmo Discreto, que se acredita ser NP-Intermediário, ou seja, está em NP, mas não em P nem NP-completo.
Que eu saiba, não existem algoritmos eficientes (polinomiais) para resolver esse problema (os algoritmos Berlekamp e Cantor – Zassenhaus exigem tempo exponencial). Encontrar raízes para essa equação pode ser feito de duas maneiras:
Tente todos os itens possíveis no campo e verifique se eles satisfazem a equação ou não. Claramente, isso requer tempo exponencial no tamanho de bits do módulo de campo;
O exponencial pode ser reescrito na forma polinomial, usando a interpolação Lagrange para interpolar os pontos { ( 0 , r 0 ) , ( 1 , r 1 ) , … , ( q - 1 , r q - 1 ) } , determinando uma polinômio f ( x ) . Esse polinômio é idêntico a r x precisamente porque estamos trabalhando em um campo finito. Então, a diferença p , pode ser fatorado para encontrar as raízes da equação dada (usando os algoritmos Berlekamp ou Cantor – Zassenhaus) e as raízes leem os fatores. Entretanto, essa abordagem é ainda pior que a pesquisa exaustiva: uma vez que, em média, uma passagem polinomial por n pontos terá n coeficientes nulos, mesmo que apenas a entrada para a interpolação de Lagrange exija espaço exponencial no tamanho do bit do campo.
Alguém sabe se esse problema também é intermediário para o NP ou pertence a qualquer outra classe de complexidade? Uma referência será muito apreciada. Obrigado.
fonte
Respostas:
vai dar uma facada em responder a isso. não há referências dadas na pergunta, mas é atribuída uma sigla "EPRP" como se mais de uma pessoa a tivesse estudado. alguém sabe se é esse o caso? o questionador MC parece ter um bkg significativo nessa área, mas ajudaria significativamente a listar alguns árbitros "próximos" conhecidos / revisados para entender por que eles têm alguma lacuna que não cobre (?) esse caso supostamente especial.
geralmente ajuda a encontrar "referências disponíveis mais próximas" e determinar como o problema é diferente ou semelhante. aqui está uma referência abrangente que parece considerar problemas estreitamente relacionados. pense que o questionador MC deve tentar localizar o caso mais próximo do problema nesta ref, ou talvez algum outro, e depois apontar como esse caso questionado é especificamente diferente dos casos gerais de problemas dados na ref. o árbitro tem uma longa lista de árbitros relacionados para verificar também problemas próximos / relacionados. ele considera a complexidade do problema e fornece algoritmos de tempo P eficientes para vários casos.
SOBRE SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POLINOMIAIS UNIVARIADAS EM CAMPOS FINITOS E ALGUNS PROBLEMAS RELACIONADOS Tsz Wo Sze, Doutor em Filosofia, 2007
fonte