Suponha que temos um conjunto S de gráficos (gráficos finitos, mas um número infinito deles) e um grupo P de permutações que atua em S.
Instância: Uma permutação p em P.
Pergunta: Existe um gráfico g em S que admite o automorfismo p?
Esse problema é NP-completo para alguns conjuntos S?
Seria fácil verificar se um gráfico admite a permutação p (isto é, certificado). Além disso, é fácil encontrar exemplos de S onde o problema não é NP-completo, como S sendo o conjunto de gráficos completos, de onde a resposta é sempre sim.
Nota: Não estou realmente interessado em que tipo de gráficos são; se você quiser, pode ser não simples, direcionado, colorido etc.
ADENDO: O problema que estou vendo atualmente é classificar quais isotopismos são autotopismos de quadrados latinos (que também podem ser interpretados como um tipo especial de automorfismo de gráfico).
Dado um quadrado latino L (i, j), podemos construir um gráfico da seguinte maneira:
- O conjunto de vértices é o conjunto de células (i, j) na matriz e
- Existe uma aresta entre distintas (i, j) e (i ', j') sempre que i = i 'ou j = j' ou L (i, j) = L (i ', j').
Esse gráfico é chamado de gráfico quadrado latino (veja, por exemplo, este artigo de Bailey e Cameron http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf ). Podemos interpretar um autotopismo de um quadrado latino como um automorfismo do gráfico de quadrados latinos. Então, S seja o conjunto de gráficos quadrados latinos formados a partir dos quadrados latinos da ordem n. Portanto, a pergunta na qual estou interessado é:
Dada uma permutação p, p é um automorfismo de um (ou mais) dos gráficos em S?
Meu sentimento é que é uma pergunta difícil de responder em geral - atualmente estou escrevendo um artigo com mais de 30 páginas sobre o assunto (com 2 co-autores). Na verdade, na maioria das vezes é fácil (na maioria das vezes é "não"), mas existem alguns casos difíceis.
Então, eu estou interessado em encontrar problemas de decisão que estariam relacionados à "classificação de simetria". Eles realmente não precisam estar relacionados aos quadrados latinos, só espero usar essas técnicas para responder à pergunta dos quadrados latinos.
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Respostas:
Escolha qualquer idioma (que consiste em cadeias binárias). Construa o conjunto S dos gráficos da seguinte maneira:L S
Agora vamos ser uma permutação de { 1 , 2 , . . . , 3 n } . Assume-se que p é um automorphism de alguns gráfico em S . Ou seja, p é um automorfismo de L y por algum y ∈ L . Vamos i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } . Vamos considerar os dois casos a seguir:p {1,2,...,3n} p S p Gy y∈L i∈{1,2,...,n}
Portanto, se podemos resolver a questão "é um dado automorphism de alguma G ∈ S ", também podemos resolver a questão "é uma string dada y em L ". Além disso, se pudermos fazer o primeiro em, digamos, tempo polinomial em | p | , podemos fazer o último em tempo polinomial em | y | também.p G∈S y L |p| |y|
Agora você pode deixar ser o seu problema NP-difícil favorito. Ou o problema da parada ...L
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