A definição de "poset algébrico" em Malhas e Domínios Contínuos , Definição I-4.2, diz que, para todos os ,
- o conjunto deve ser um conjunto direcionado e
- .
Aqui é um poseto, K ( L ) é o conjunto de elementos compactos de L e ↓ x significa { y ∣ y ⊑ x } .
Fiquei um pouco surpreso com a primeira condição. É um argumento fácil mostrar que, se e k 2 estão em A ( x ), então k 1 ⊔ k 2 também está em A ( x ) . Portanto, todos os subconjuntos finitos não vazios de A ( x ) têm limites superiores. A única questão é se o subconjunto vazio possui um limite superior, ou seja, se A ( x ) não é vazio em primeiro lugar. Então,
- É correto substituir a primeira condição por não ser vazia?
- Qual é o exemplo de uma situação em que está vazio?
Nota adicionada: Como está em A (x)? Em primeiro lugar, uma vez k 1 ⊑ x e k 2 ⊑ x , temos k 1 ⊔ k 2 ⊑ x . Segundo, k 1 e k 2 são compactos. Portanto, qualquer conjunto direcionado que vá "além" deles deve "passá-los". Suponha que um conjunto direcionado u vá além de k 1 ⊔ k 2 , ou seja, k 1 ⊔ k 2 ⊑ ⊑ u. Uma vez que foi além e k 2 , que deve ter passado los, isto é, não são elementos Y 1 , Y 2 ∈ u tal que k um ⊑ y 1 e k 2 ⊑ y 2 . Como u é um conjunto direcionado, ele deve ter um limite superior para y 1 e y 2 , digamos y . Agora, k 1 ⊔ k 2 ⊑ y ∈ d . Isto mostra que é compacto. As duas peças juntas dizem k 1 ⊔ k 2 ∈ A ( x ) .
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Respostas:
Um exemplo em que está vazio é o conjunto de números reais R com a ordem usual. Não possui elementos compactos.A(x) R
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