Essa é uma condição equivalente para posets algébricos?

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A definição de "poset algébrico" em Malhas e Domínios Contínuos , Definição I-4.2, diz que, para todos os ,xL

  • o conjunto deve ser um conjunto direcionado eA(x)=xK(L)
  • .x=(xK(L)

Aqui é um poseto, K ( L ) é o conjunto de elementos compactos de L e x significa { y y x } .LK(L)Lx{yyx}

Fiquei um pouco surpreso com a primeira condição. É um argumento fácil mostrar que, se e k 2 estão em A ( x ), então k 1k 2 também está em A ( x ) . Portanto, todos os subconjuntos finitos não vazios de A ( x ) têm limites superiores. A única questão é se o subconjunto vazio possui um limite superior, ou seja, se A ( x ) não é vazio em primeiro lugar. Então,k1k2A(x)k1k2A(x)A(x)A(x)

  • É correto substituir a primeira condição por não ser vazia?A(x)
  • Qual é o exemplo de uma situação em que está vazio?A(x)

Nota adicionada: Como está em A (x)? Em primeiro lugar, uma vez k 1x e k 2x , temos k 1k 2x . Segundo, k 1 e k 2 são compactos. Portanto, qualquer conjunto direcionado que vá "além" deles deve "passá-los". Suponha que um conjunto direcionado u vá além de k 1k 2 , ou seja, k 1k 2uk1k2k1xk2xk1k2xk1k2uk1k2k1k2u. Uma vez que foi além e k 2 , que deve ter passado los, isto é, não são elementos Y 1 , Y 2u tal que k umy 1 e k 2y 2 . Como u é um conjunto direcionado, ele deve ter um limite superior para y 1 e y 2 , digamos y . Agora, k 1k 2y d . Isto mostra quek1k2y1,y2uk1y1k2y2uy1y2yk1k2yd é compacto. As duas peças juntas dizem k 1k 2A ( x ) .k1k2k1k2A(x)

Uday Reddy
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Você diz: “se k1 e k2 estão em A (x), então k1⊔k2 também está em A (x)” - como você prova isso?
Artem Pelenitsyn
@ArtemPelenitsyn: adicionei meu argumento à pergunta.
Uday Reddy
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Por favor, corrija-me se eu entendi errado, mas: em sua nota, você supõe que k1⊔k2 existe em L. Mas L é apenas um poset, não um conjunto direcionado, então você não pode fazer isso.
Artem Pelenitsyn
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I também o facto da segunda condição é suficiente em cpo completa delimitada aqui: homepages.inf.ed.ac.uk/libkin/papers/alcpo.pdf (p 1.)
Artem Pelenitsyn
@ArtemPelenitsyn. Ótimo, muito obrigado. Desconfie da suposição oculta!
Uday Reddy

Respostas:

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Um exemplo em que está vazio é o conjunto de números reais R com a ordem usual. Não possui elementos compactos.A(x)R

A(x)A(x)=xLxA(x)=

LNι1(n)ι2(n)n

  • ι1(m)ι1(n)mn
  • ι2(m)ι2(n)mn
  • xx

  1. xK(L)

  2. x=(xK(L))

  3. K(L)=N+N

Andrej Bauer
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Legal. Ótimo exemplo!
Uday Reddy