Complexidade de contar o número de capas de arestas de um gráfico

Uma cobertura de aresta é um subconjunto de arestas de um gráfico, de modo que todos os vértices do gráfico sejam adjacentes a pelo menos uma aresta da cobertura. Os dois documentos a seguir dizem que a contagem de capas de arestas é #P : Um FPTAS simples para contar capas de arestas e gerar capas de arestas de gráficos de caminhos . No entanto, a menos que eu tenha perdido algo, eles não fornecem uma referência para essa reivindicação ou uma prova. (A referência 3 do primeiro artigo parecia promissora, mas também não encontrei o que queria.)

Onde posso encontrar uma referência ou prova do fato de que contar o número de capas de arestas de um gráfico é # P-complete?

Não sei onde isso foi provado pela primeira vez, mas como o EdgeCover tem uma expressão como um problema Holant de domínio booleano, ele é incluído em muitos teoremas da dicotomia Holant.

EdgeCover está incluído no teorema da dicotomia em (1). O teorema 6.2 (na versão do diário ou o teorema 6.1 na pré-impressão) mostra que o EdgeCover é # P rígido sobre gráficos planares tridimensionais. Para ver isso, a expressão para o EdgeCover como um problema de Holant em gráficos é (ou substitua por contendo 1 para o mesmo problema em gráficos regulares). Essa notação lista a saída de uma função simétrica[ 0 , 1 , 1 , 1 ] [ 0 , 1 , … , 1 ] k k [ 0 , 1 , 1 , 1 $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$$[0,1,1,1]$$[0,1,\dotsc,1]$$k$$k$$[0,1,1,1]$em ordem de entrada Peso de Hamming. Para alguns subconjuntos das arestas do conjunto (que consideramos atribuídos 1 e do conjunto complementar 0), a restrição em cada vértice é que pelo menos uma aresta seja atribuída 1, que é exatamente o que a função . Para um subconjunto fixo de arestas, seu peso é o produto das saídas de [ 0 , 1 , 1 , 1 ] em cada vértice. Se algum vértice não for coberto, ele contribuirá com um fator 0 . Se todos os vértices estiverem cobertos, todos os vértices contribuem com um fator de 1 ; portanto, o peso também é$[0,1,1,1]$$[0,1,1,1]$$0$$1$ . Então o Holant deve somar todos os subconjuntos possíveis de arestas e adicionar o peso correspondente a cada subconjunto. Esse valor de Holant é exatamente o mesmo se subdividirmos todas as arestas e impormos a restrição de que ambas as arestas de incidentes nesses novos vértices sejam iguais. Usando a notação de função simétrica, essa função de igualdade binária é [ 1 , 0 , 1 ] . Este gráfico é bipartido. Os vértices em uma parte têm arestrição [ 0 , 1 , 1 , 1 ] enquanto os vértices na outra parte têm a [ 1 , 0 , 1 $1$$[1,0,1]$$[0,1,1,1]$$[1,0,1]$limitação. A expressão para isso como um problema de Holant é . Então você pode verificar por si mesmo que a linha " [ 0 , 1 , 1 , 1 ] " e a coluna " [ 1 , 0 , 1 ] " da tabela próxima ao teorema mencionado acima contêm "H", o que significa que o problema é #P -hard até o gráfico de entrada deve ser plano.$\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$$[0,1,1,1]$$[1,0,1]$

Nota lateral: Observe que Pinyan Lu é um autor deste artigo e do primeiro artigo que você cita. Eu estou supondo que quando o artigo deles diz que "contar capas de arestas é um problema # P-completo mesmo quando restringimos a entrada a 3 gráficos regulares", eles estavam citando implicitamente (1). Eles provavelmente não mencionaram que a dureza também se mantém quando mais restrita a gráficos planares, uma vez que seus FPTAS não precisam dessa restrição.

Teoremas posteriores da dicotomia de Holant, como aqueles em (2,3) --- versões para conferências e periódicos do mesmo trabalho-- provaram mais. O teorema 1 (em ambas as versões) diz que o EdgeCover é # P rígido sobre os gráficos regulares planares para k ≥ 3 . Para ver isso, precisamos aplicar uma transformação holográfica. Como descrito acima, a expressão para EdgeCover como um problema de Holant sobre gráficos k - regulares é Holant ( [ 0 , 1 , … , 1 ] ) , onde [ 0 , 1 , … , 1 ] contém $k$$k \ge 3$$k$$\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$$[0,1,\dotsc,1]$$k$1's. E além disso, isso é equivalente a . Agora aplicamos uma transformação holográfica por T = [ 1 e π i / k 1 0$\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$$T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$(ou inverso, dependendo da sua perspectiva). Pelo teorema de Holant, de Valiant (4,5), isso não altera a complexidade do problema (de fato, ambos os problemas são na verdade o mesmo problema porque concordam com a saída de cada entrada ... apenas a expressão do problema mudou ) A expressão alternativa para esse problema é

onde = k é a função de igualdade em

$$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$$ $=_k$ entradas. Para aplicar o Teorema 1, temos que normalizar [ 2 , e π i / k , e 2 π i / k ] a [ 2 e - π i / k , 1 , e π i / k ] dividindo a função original por e π i / k , que não altera a complexidade do problema, pois esse valor é diferente de zero. Então os valores X e$k$$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$$e^{\pi i / k}$$X$$Y$na afirmação do teorema são e Y = - 2 k - 1 . Para k ≥ 3 , pode-se verificar se esse problema, assim também o EdgeCover, é # P rígido sobre os gráficos regulares k planares para k ≥ 3 .$X = 2$$Y = -2^k - 1$$k \ge 3$$k$$k \ge 3$

Nota lateral: Também podemos ver esse teorema e prova na tese de Michael Kowalczyk .

Continuarei minha pesquisa de literatura para ver que o EdgeCover mostrou # P-hard antes (1).

(1) Redução holográfica, interpolação e dureza por Jin-Yi Cai, Pinyan Lu e Mingji Xia ( jornal , pré-impressão ).

(2) Uma dicotomia para gráficos regulares com atribuições de vértices { 0 , 1 } e funções de borda real$k$$\{0,1\}$ de Jin-Yi Cai e Michael Kowalczyk.

(3) Funções de partição em gráficos Regulares com atribuições de vértices { 0 , 1 } e funções de borda real$k$$\{0,1\}$ de Jin-Yi Cai e Michael Kowalczyk.

(4) Algoritmos holográficos de Leslie G. Valiant

(5) Teorema de Holant e tensores da caixa de fósforos de Valiant por Jin-Yi Cai e Vinay Choudhary

Após mais algumas pesquisas na literatura, parece que a complexidade de contar as capas das bordas em um gráfico foi mostrada como # P-complete no caminho bordewich2008, Apêndice A.1 . (Isso pressupõe gráficos arbitrários como entrada, ou seja, eles não podem impor nenhuma suposição no gráfico de entrada, exceto que eles observem que o grau mínimo pode ser arbitrariamente grande). (bordewich2008path indica ainda que o resultado é reivindicado sem prova no bubley1997graph.) Esse resultado é anterior aos de Cai, Lu e Xia mencionados como (1) na resposta de Tyson Williams, e não se baseia na teoria holográfica.

Especificamente, o resultado baseia-se na dureza # P da contagem de conjuntos independentes em gráficos tridimensionais mostrados na complexidade greenhill2000 (aprimorando no resultado análogo para gráficos de grau no máximo 4 mostrados na complexidade vadhan1997) e prova o resultado usando a técnica de bubley1997graph .

Um resultado mais forte, ou seja, a dureza da contagem de capas de arestas em um gráfico bipartido de grau no máximo quatro (impondo ainda que o conjunto de arestas possa ser particionado em quatro combinações) foi estudado independentemente em khanna2011, Apêndice B.1, novamente sem ferramentas holográficas . Eles contam com a dureza de contar conjuntos independentes em gráficos bipartidos tridimensionais (mostrados em xia2006regular por um refinamento do método de interpolação da complexidade de vadhan1997) e, em seguida, aplicam um refinamento da técnica de bordewich2008path.

Um resultado ainda mais forte (dureza da cobertura das arestas de contagem em um gráfico regular 2-3 bipartido, ou seja, um gráfico bipartido em que todos os vértices de um lado têm grau 2 e todos os vértices do outro lado têm grau 3, que é adicionalmente plano) pode ser mostrado usando os resultados de xia2006regular e cai2008holographic. As explicações para isso aparecem no Apêndice D da versão mais recente do nosso documento PODS'17 . Nesse caso, verificamos com bastante cuidado que o resultado vale para gráficos simples , ou seja, para gráficos que não possuem auto-loops nem multi-arestas (veja os comentários à resposta de Tyson Williams).

Para dureza em gráficos planares tridimensionais, é apresentado um argumento na resposta de Tyson Williams, mas parece que ele permite múltiplas arestas e auto-loops nos gráficos.

Referências:

• bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Path Coupling Utilizando Tempos de Parada e Contando Conjuntos e Corantes Independentes em Hypergraphs , 2008.
• bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Orientações gráficas sem pia e uma aproximação para um caso difícil de #SAT , 1997. Nenhuma versão de acesso aberto parece disponível online. :-(
• cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, redução holográfica, interpolação e dureza , 2008
• greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, A complexidade da contagem de corantes e conjuntos independentes em gráficos esparsos e hipergrafos , 2000
• khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Consultas com diferença em bancos de dados probabilísticos , 2011.
• vadhan1997complexidade: Salil P. Vadhan, A complexidade da contagem em gráficos esparsos, regulares e planares , 1997. Alguns resultados provavelmente apareceram originalmente em uma tese, mas eu não verifiquei.
• xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, a cobertura planar bipartida # 3-regular de vértice é a # P-Complete , 2006. Nenhuma versão de acesso aberto parece disponível online. :-( Observe que o primeiro autor também é autor de (1) na resposta de Tyson Williams.

Diclaimer: Eu só dei uma olhada superficial nesses documentos e não sou especialista neste campo, portanto, pode haver erros no meu resumo acima.

Graças a um árbitro anônimo do PODS'17 por me apontar para khanna2011queries, que foi o que me levou a escrever esta resposta.