Uma propriedade de gráfico é chamada de hereditária se fechada com relação à exclusão de vértices (ou seja, todos os subgráficos induzidos herdam a propriedade). Uma propriedade de gráfico é chamada aditiva se for fechada com relação à obtenção de uniões disjuntas.
Não é difícil encontrar propriedades hereditárias, mas não aditivas. Dois exemplos simples:
(1) O gráfico está completo.
(2) O gráfico não contém dois ciclos separados por vértices.
Nesses casos, é óbvio que a propriedade é herdada por subgráficos induzidos, mas, tendo dois gráficos separados que possuem a propriedade, sua união pode não preservá-la.
Ambos os exemplos acima são propriedades decidíveis pela polytime (embora para (2) seja um pouco menos trivial). Se quisermos propriedades mais difíceis, elas ainda poderão ser criadas seguindo o padrão de (2), mas substituindo os ciclos por tipos de gráficos mais complicados. Em seguida, no entanto, que pode facilmente correr para a situação em que o problema não mesmo permanecer em , com base em hipóteses complexidade padrão, tais como N P ≠ C O N P . Parece menos trivial para encontrar um exemplo que estadias dentro N P , mas ainda é difícil.
Pergunta: Você conhece um (de preferência natural) propriedade gráfico -completo que é hereditária, mas não aditivo?
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Respostas:
Claramente, a captura de subgráficos induzidos não pode aumentar o tamanho mínimo dessa partição. Por outro lado, quando você toma a união disjunta de dois gráficos, deve-se levar a união da partição para grupos de cada um.
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Considere este problema
Permanece NP completo, mesmo que as propriedades sejam hereditárias.
Agora, claramente, uma solução do problema acima para um gráfico também fornece solução para os subgráficos induzidos. Mas, ao obter a união de gráficos da mesma família que G, talvez não seja possível resolver usando essa solução.
Por exemplo, o particionamento de gráficos gerais em gráficos de intervalos unitários separados é NP completo, mas após a união de todas as arestas possíveis (completando o gráfico) resolve o problema trivialmente.
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Se (1) for verdadeiro, deverá responder à sua pergunta, pois fornece uma propriedade hereditária, mas claramente não aditiva.
(NOTA ADICIONADA: a conjectura (2) é diferente da "conjectura de cobertura de ciclo duplo" de Szekeres e Seymour, apesar do homonimismo).
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