Digamos que temos um problema computacional, por exemplo, 3-SAT, que tem um conjunto de instâncias de problemas (possíveis entradas) . Normalmente, na análise de algoritmos ou teoria da complexidade computacional, temos alguns conjuntos de todas as entradas de comprimento e uma função que fornece o tempo de execução de algum algoritmo de solução na entrada . A pior sequência de tempo de execução para é então I ( n ) = { w ∈ S : | w | = n } n T ( w ) A w A f n = max w ∈ I ( n ) T ( w ) .
Vamos agora definir os conjuntos de todas as entradas com complexidade Kolmogorov e definir a sequência Aqui é a sequência média de tempo de execução para , exceto onde o "tamanho" das entradas é a complexidade de Kolmogorov, não o comprimento.n f K n = 1
Existem algoritmos para os quais é assintoticamente significativamente diferente de ? Em caso afirmativo, existem problemas cuja complexidade de tempo muda ao usar essa maneira diferente de analisar algoritmos?f K n
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Respostas:
Considere a função de paridade (ou qualquer outra função que dependa de todos / a maioria dos bits da entrada). Para a função de paridade, . Então Por outro lado,T(w)=Θ(|w|)
Observe que . Assim e . Da mesma forma, ; assim “cresce muito rapidamente”. Além disso, não é difícil ver que não há computável limite superior para .K(22n)=O(n)
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Dado o interesse por essa pergunta, achei que seria útil apontar mais explicitamente a razão pela qual não devemos nos surpreender com a resposta e tentar dar alguma orientação para aprimoramentos da pergunta. Isso coleta e expande alguns comentários. Peço desculpas se isso é "óbvio"!
Considere o conjunto de cadeias de caracteres de complexidade Kolmogorov : Existem no máximo dessas strings, pois existem descrições de comprimento . Mas observe que esse conjunto é indecidível para geral (caso contrário, poderíamos calcular apenas iterando de para e verificando a associação em ). Além disso, a função cresce incrivelmente rápido. É uma variante da função de castor ocupado: qual é a saída mais longa de uma máquina de Turing de comprimento descritivoJ K (n
Agora, para a pergunta de Andrew, temos que , onde é o idioma original. Portanto, a única maneira de evitar contendo entradas muito grandes em seria se contivesse apenas seqüências de caracteres muito compactáveis. (Observe que, caso contrário, podemos ignorar completamente a distinção entre análise de pior e de caso médio aqui, porque calculamos a média de mais de strings, mas o tamanho da maior string está crescendo mais rápido do que qualquer função computável de . )IK(n)=S∩JK(n) S IK(n) n S 2n n
Eu sinto que é provavelmente impossível construir qualquer não trivial (isto é, infinito) que contenha apenas cadeias não compactáveis, mas que seja decidível. Mas eu não sei. No entanto, espero que isso dê intuição a respeito de por que não devemos esperar que a maioria dos idiomas tenha crescendo mais lentamente que uma função computável.S fKn
Para recuar um pouco, a questão é comparar o desempenho nas entradas de comprimento com o desempenho nas entradas que podem ser compactadas no comprimento . Mas temos noções de compressão que são muito mais tratáveis (e menos poderosas) que a Complexidade Kolmogorov. Uma maneira simples é fornecer um circuito de tamanho , que na entrada o número binário produz o ésimo bit de . Observe que aqui a ampliação do tamanho da entrada é no máximo exponencial (um circuito do tamanho tem no máximo entradas possíveis).n n n b b w n 2n
Assim, podemos reformular a pergunta, deixando E defina analogamente. A razão da esperança aqui é que a maioria das cordas requer um circuito quase tão grande quanto a própria corda, e nenhuma corda é mais do que exponencialmente maior que o circuito necessário. Talvez neste caso nós poderíamos encontrar línguas onde e são semelhantes assintoticamente.
Uma questão bem relacionada é a complexidade de linguagens implícitas como IMPLICIT_SAT é NEXP-complete, e geralmente a versão implícita dos problemas de NP-complete é NEXP-complete. Decidir IMPLICIT_SAT é pelo menos tão fácil quanto usar o circuito para escrever todos os e executar um algoritmo para SAT em . Portanto, se para SAT, isso parece quase uma evidência de que IMPLICIT_SAT no caso médio é quase tão rapidamente decidível quanto SAT no pior caso. Mas não sei como comparar diretamente sua noção com linguagens implícitas porque a noção de "menor circuito para
Espero que isso seja útil / interessante!
Não tenho certeza de um livro que mencione problemas implícitos, mas aqui estão algumas notas de aula: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs221/spring10/lec8.pdf
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Um caso fácil parece ser o local em que o idioma contém apenas instâncias preenchidas. Quando é obtido de um idioma , preenchendo cada instância do tamanho com símbolos, pode estar na região de .S L n 2 n - n f K n 2 f nS S L n 2n−n fKn 2fn
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