Exemplos em que a exclusividade da solução facilita a localização

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A classe de complexidade consiste naqueles N P -Problemas que podem ser decididas por um máquina de Turing não-determinístico tempo polinomial que tem no máximo uma aceitar caminho computacional. Ou seja, a solução, se houver, é única nesse sentido. É altamente improvável que todos os problemas de estejam em , porque pelo Teorema de Valiant-Vazirani isso implicaria o colapso .UPNPP N P = R PUPPNP=RP

Por outro lado, nenhum -problem é conhecido por ser N P -completo, o que sugere que o requisito solução única ainda de alguma forma torna mais fácil.UPNP

Estou procurando exemplos, onde a suposição de exclusividade leva a um algoritmo mais rápido.

Por exemplo, observando os problemas do gráfico, uma clique máxima em um gráfico pode ser encontrada mais rapidamente (embora ainda esteja em tempo exponencial), se soubermos que o gráfico possui uma clique máxima exclusiva ? Que tal a capacidade única , o caminho hamiltoniano único, o conjunto mínimo dominante exclusivo etc.?k

Em geral, podemos definir uma versão de solução única de qualquer problema -completo, escalando-os para U P . É conhecido por algum deles que adicionar a suposição de exclusividade leva a um algoritmo mais rápido? (Permitindo que ainda permaneça exponencial.)NPUP

Andras Farago
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Sua primeira frase fornece a definição correta de UP, mas o restante de suas referências a UP deve realmente ser ao PromiseUP (incluindo Valiant-Vazirani). De qualquer maneira, essa é uma pergunta muito interessante. Dois exemplos: 1) O fatoramento está no UP e possui um algoritmo mais rápido do que o conhecido por problemas de NP-completo (mas o fatoração também está no coNP e até no coUP, portanto, não é tão claro que a singularidade esteja subjacente ao algoritmo rápido aqui.) 2 ) Sodoku, como tradicionalmente definido, está no PromiseUP, mas não conheço nenhuma abordagem para a solução de Sudoku que aproveite a exclusividade prometida.
Joshua Grochow
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A paridade do número de caminhos hamiltonianos pode ser encontrada no tempo ( arxiv.org/pdf/1301.7250.pdf ), enquanto o algoritmo mais conhecido para o problema de decisão leva quase 2 anos.1.618n tempo. 2n
precisa saber é o seguinte
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Aqui está um exemplo da computação quântica: considere o problema de pesquisa em n itens. Se você sabe que existe exatamente 1 item marcado, pode encontrá-lo com um algoritmo quântico exato com consultas. Se você não souber o número de itens marcados, qualquer algoritmo quântico exato precisa denΘ(n)n consultas.
26614 Robin Ontário

Respostas:

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3-SAT pode ser um desses problemas. Atualmente, o melhor limite superior para o Unique 3-SAT é exponencialmente mais rápido do que para o 3-SAT geral. (A aceleração é exponencial, embora a redução no expoente seja pequena.) O recordista do caso único é este artigo de Timon Hertli.

O algoritmo de Hertli baseia-se no importante algoritmo PPSZ de Paturi, Pudlák, Saks e Zane para -SAT, que eu acredito que ainda seja o mais rápido para k 5 (consulte também este artigo da enciclopédia). A análise original mostrou limites melhores para o k- SAT único do que para o k- SAT geral quando k = 3 , 4 ; posteriormente, no entanto, Hertli mostrou em outro artigokk5kkk=3,4que você pode obter os mesmos limites para o algoritmo PPSZ (ligeiramente ajustado), sem assumir a exclusividade. Portanto, talvez a singularidade ajude, e possa definitivamente simplificar a análise de alguns algoritmos, mas nossa compreensão do papel da singularidade para o -SAT ainda está crescendo.k

Há evidências de que o -SAT exclusivo não é muito mais fácil do que o k -SAT geral . A forte exponencial Tempo hipótese (Seth) afirma que não existe δ < 1 de tal modo que n -variável k -SAT é solúvel em ó * ( 2 δ n ) de tempo para cada constante k 3 . Foi mostrado em um artigo de Calabro, Impagliazzo, Kabanets e Paturi que, se o SETH for válido, a mesma afirmação é verdadeira para o Unique k -SAT. Além disso, se k geralkkδ<1nkO(2δn)k3kk-SAT requer tempo exponencial, ou seja, existe algum modo que o k- SAT geral não possa ser resolvido no tempo O ( 2 ϵ n ) , então o mesmo deve ser verdadeiro para o exclusivo 3-SAT. Veja o documento para a declaração mais geral. k3,ϵ>0kO(2ϵn)

(Nota: o notação suprime factores polinomiais no comprimento de entrada).O

Andy Drucker
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"verdadeiro para 3-SAT exclusivo" "verdadeiro para k-SAT exclusivo"
Olá Ricky, não vejo problema com o que está escrito. A última afirmação sobre Unique 3-SAT é encontrada no resumo do artigo.
Andy Drucker
Ah, vejo que ks diferentes precisariam ser usados ​​para o que eu estava dizendo,k o que tornaria confuso.
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O menor problema de trajetória independente de 2-vértices em gráficos não direcionados recentemente resolvidos (ICALP14) por A. Bjorklund e T. Husfeldt. Mas a solução determinística é para o caso da existência de uma solução única. No caso de haver mais de uma solução, eles mostraram que o problema pertence ao RP . Como autores do artigo mencionado, não se sabe se o problema está em P no cenário geral.

Saeed
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Obrigado, é muito interessante. O caso geral, onde a solução não é única, também é um bom exemplo de um problema gráfico natural (ou mesmo prático), que agora está provado estar em RP, mas não em P.
Andras Farago
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Fora da teoria da complexidade e da análise de algoritmos, a suposição de que pode haver apenas uma solução forma a base de algumas das regras padrão usadas para deduzir a solução nos quebra-cabeças do Sudoku. Essas regras geralmente envolvem a busca de maneiras pelas quais partes do quebra-cabeça possam ter duas ou mais soluções que não interagem com o restante do quebra-cabeça. Isso não pode acontecer na solução real; portanto, se um padrão que ameaça causar isso for encontrado, ele deverá ser quebrado, permitindo que o solucionador deduza restrições sobre a aparência da solução real. Consulte http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp para obter alguns exemplos de regras de dedução baseadas na exclusividade.

David Eppstein
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G é hamiltoniano mais rápido do que em geral.

A suposição de uniqeness significa que a paridade do número de Ham. caminhos é o mesmo que decidir se o gráfico é hamiltoniano.

O(1.619n)O(1.657n)O(n22n)

RB
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