Complexidade dos problemas relacionados à permutação

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Dado um grupo de permutações em [ n ] = { 1 , , n } , e dois vectores de u , v Γ n onde Γ é um alfabeto finito que não é muito relevante aqui, a questão é se existe algum ¸ G tal que π ( u ) = v onde π ( u ) significa aplicar a permutação π em u de uma maneira esperada.G[n]={1,,n}você,vΓnΓπGπ(você)=vπ(você)πvocê

Suponha ainda que seja dado, como entrada, por um conjunto finito S de geradores. Qual é a complexidade do problema? Em particular, é em NP?GS

user27313
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O que você quer dizer com um conjunto finito de geradores? Como é representado na entrada?
RB
Penso que um exemplo é: dois geradores , S 2 = ( 1 3 ) ( 2 ) e G é o grupo gerado por S 1 e S 2 . S1=(12)(3)S2=(13)(2)GS1S2
maomao 22/09
Em geral, esse problema seria difícil para o NP (provavelmente isso já foi estudado em algumas ref das quais não estou ciente). No entanto, a Outra Solução de Problemas (relacionado ao jogo de sudoku também), possam interessar
Nikos M.
Além disso, este é um problema inverso (que pode ser abordado de maneira MÁXIMA a-la Jaynes) #
Nikos M.
A questão não é se é NP-difícil, mas se é NP. O limite superior trivial é apenas PSPACE.
Emil Jeřábek apoia Monica

Respostas:

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Seja onde S n é o grupo de permutação em n elementos. Teste se g g 1 , ... , g k pode ser feito em NC P por [1]. Seja u , v Γ n , então simplesmente adivinhe g S n , teste em tempo polinomial se g Gg1,...,gk,gSnSnngg1,...,gkNCPvocê,vΓngSngGe se . Isso gera um limite superior NP .g(você)=vNP

Para complementar esta resposta:

Foi demonstrado que a participação em grupos pertencia a (Furst et al. 1980), depois a NC 3 para grupos abelianos (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), a NC para grupos sem potencial (Luks & McKenzie 1988), grupos solucionáveis ​​(Luks & McKenzie 1988), grupos com fatores de composição não abelianos limitados (Luks 1986) e finalmente todos os grupos (Babai et al. 1987). Uma classificação de complexidade semelhante da associação de monoides aperiódicos deve-se a (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), que mostram que a associação para qualquer variedade de monóide aperiódica fixa está em AC 0 , em P , em NP ou em PSPACEPNC3NCAC0 0PNPPSPACE (e complete para essa classe com muito poucas exceções).

[1] L. Babai, EM Luks e A. Seress. Grupos de permutação em NC. Proc. simpósio ACM anual sobre Teoria da computação, pp. 409-420, 1987.19º

Michael Blondin
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Minha resposta estava incorreta e a apaguei (o subgrupo que eu designei N na minha resposta não era normal em geral). Acho que o problema está em P (e provavelmente também em NC), mas não tenho uma prova no momento.
Tsuyoshi Ito
Não vejo por que sua resposta está incorreta. A permutação pode, efectivamente, ser construída de modo simples, em seguida, a associação de grupo em que os grupos são dadas como uma lista dos geradores é em NC por BABAI, Luks & Seress 87.π
Michael Blondin
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Uma escolha para π pode ser facilmente construída, mas o que devemos fazer se esse π não pertencer a G? Provavelmente, existe uma maneira de encontrar o π certo desde o início, mas agora não vejo como fazer isso.
Tsuyoshi Ito
Oh, você está certo. Vou editar minha resposta de volta ao limite superior do NP.
Michael Blondin
Obrigado pela edição e desculpe-me por causar confusão pela minha resposta incorreta.
Tsuyoshi Ito
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Seu problema é conhecido como ( -) string G- isomorfismo. É em uma classe bastante estreita de problemas em torno Gráfico Isomorfismo: é pelo menos tão duro como GI, e é em N Pc o Uma M .ΓGNPcoAM

Redução do IG: seja , e sejaGSNa ação induzida deSnnos pares.N=(n2)GSNSn

Protocolo A M : Arthur escolhe aleatoriamente um elemento de G (não tenho certeza se isso pode ser feito exatamente de maneira uniforme, mas acho que os algoritmos conhecidos se aproximam o suficiente para se uniformizarem para esse resultado) e o aplicam a u e v . Com probabilidade 1/2, ele troca u e v , depois os apresenta a Merlin e pergunta qual foi qual.coAMGuvuv

Joshua Grochow
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Combinando meu comentário à resposta de Michael Blondin com sua resposta, agora tenho medo de acidentalmente me comprometer a pensar que a IG está em P (e provavelmente também em NC).
Tsuyoshi Ito
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Apesar dos meus comentários, também adicionarei uma resposta.

No caso, os dois espectros dados são conhecidos por serem uma permutação um do outro (e a permutação é conhecida / assumida como estando no grupo ). Então a permutação que transforma v u pode ser encontrada no tempo linear como tal:Gvu

  1. Alinhe os 2 vetores um sob o outro

  2. A permutação é encontrada partindo do 1º elemento de que é transformado no 1º elemento de uvu

  3. Obtenha a posição do elemento na etapa anterior (de em v ) e repita a etapa (2), então esse é o segundo elemento da permutação e assim por diante, até que todos os elementos sejam percorridos.uv

Quando se sabe-se que os dois vetores não são positivamente a permutação um do outro (ou para casos mais gerais em que pode haver várias transformações, como, por exemplo, um jogo de sudoku), verifique o Outro Problema de Solução, que geralmente é difícil para NP. Isso requer o uso de algumas transformações de simetria (por exemplo, permutações) que satisfaçam as restrições de um determinado problema para gerar outra solução do problema, dada uma solução inicial.

Além disso, isso faz parte dos problemas conhecidos como problemas inversos (a-la Jaynes)

Nikos M.
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Não há razão para que a permutação encontrada dessa maneira deva estar no grupo dado . G
Emil Jeřábek apoia Monica
@ EmilJeřábek, hmm, perdeu esta parte, no entanto esta parte da resposta assume isto é assim (para ilustração puproses de um algoritmo linear), edite wil a resposta
Nikos M.
Verificar se existe algum mapeamento de permutação de a v (além de indicar tal permutação) é trivial: basta contar quantas vezes cada símbolo ocorre nas duas palavras. uv
Emil Jeřábek apoia Monica
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Se não é uma permutação de v , então a resposta para a instância é não, caso contrário, essa permutação π pode ser computada no espaço de registro. No entanto, isso não resolve o problema como π pode não estar no G . Com suas suposições atuais, você assume que toda instância é sim, que pode ser decidida trivialmente em tempo constante. Não sei como você responde à pergunta. vocêvππG
Michael Blondin
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Você não forneceu evidências para a alegação de que o problema é difícil para o NP ou que ele tem algo a ver com o ASP. Pela resposta de Joshua Grochow, o problema não é difícil para o NP, a menos que a hierarquia polinomial caia para o segundo nível (AM = coAM, para ser mais preciso).
Emil Jeřábek apoia Monica