Seja um polinômio variável, dado como um circuito aritmético de tamanho poli , e seja p = 2 ^ {\ Omega (n)} um primo.n ( n ) p = 2 Ω ( n )
Você pode testar se é igual a zero acima de , com time e probabilidade de erro , mesmo que o grau não seja a priori delimitado? E se for univariado?
Observe que você pode testar com eficiência se é identicamente zero como expressão formal , aplicando Schwartz-Zippel sobre um campo de tamanho, digamos 2 ^ {2 | f |} , porque o grau máximo de f é 2 ^ {| f |} .
polynomials
arithmetic-circuits
user94741
fonte
fonte
Respostas:
Não está exatamente claro para mim qual é a entrada do problema e como você impõe a restrição , no entanto, sob qualquer formulação razoável, a resposta é não para polinômios multivariados, a menos que NP = RP, devido à redução abaixo.p=2Ω(n)
Dada uma potência principal no binário e no circuito booleano (wlog usando apenas portas e ), podemos construir em tempo polinomial um circuito aritmético modo que seja insatisfatório se um polinômio idêntico zero sobre da seguinte maneira: traduza com , com e uma variável com (que pode ser expressa por um circuito do tamanho usando o quadrado repetido )C ∧ ¬ C Q C C Q M q um ∧ b um b ¬ um 1 - um x i x q - 1 i O ( log q )q C ∧ ¬ Cq C Cq Fq a∧b ab ¬a 1−a xi xq−1i O(logq)
Se é primo (o que eu acho que realmente não importa) e suficientemente grande, podemos até tornar a redução univariada: modifique a definição de para que seja traduzido com o polinômio Por um lado, para cada , portanto, se for insatisfatório, para cada . Por outro lado, suponha que seja satisfatório, diga , onde . Notar que C p x i f i ( x ) = ( ( x + i ) ( p - 1 ) / 2 + 1 ) p - 1 . , … , B n ) = 1 b i ∈ { 0 , 1 } f i ( a ) = { 1 seq= p Cp xEu
fonte