Esta é uma pergunta ingênua, fora dos meus conhecimentos; desculpas antecipadamente.
A conjectura de Goldbach e muitas outras questões não resolvidas em matemática podem ser escritas como fórmulas curtas no cálculo de predicados. Por exemplo, o artigo de Cook "Os computadores podem descobrir rotineiramente provas matemáticas?" formula essa conjectura como
Se restringirmos a atenção a provas polinomialmente longas, os teoremas com tais provas estarão em NP. Portanto, se P = NP, poderíamos determinar se, por exemplo, a conjectura de Goldbach é verdadeira no tempo polinomial.
Minha pergunta é: também poderíamos exibir uma prova em tempo polinomial?
Edit . De acordo com os comentários de Peter Shor e Kaveh, eu deveria ter qualificado minha afirmação de que poderíamos determinar se a conjectura de Goldbach é verdadeira se é realmente um dos teoremas com uma breve prova. O que, é claro, não sabemos!
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Respostas:
De fato!
Se P = NP, não apenas podemos decidir se existe uma prova de comprimento n para a Conjectura de Goldbach (ou qualquer outra afirmação matemática), mas também podemos encontrá-la com eficiência!
Por quê? Porque podemos perguntar: existe uma prova condicionada ao fato de o primeiro bit ser ..., então, existe uma prova condicionada ao fato dos dois primeiros bits serem ...., e assim por diante ...
E como você saberia n? Você apenas tentará todas as possibilidades, em ordem crescente. Quando damos um passo na i-ésima possibilidade, também tentamos um passo em cada uma das possibilidades 1 .. (i-1).
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Dana respondeu à pergunta. Mas aqui estão alguns comentários sobre o lado prático.
Observe que é indecidível verificar se uma determinada sentença é comprovável no ZFC. não tem conseqüências nisso. P = N P (na verdade P = C O N P ) significa que é fácil de encontrar provas para tautologias proposicionalP= NP P= NP P= c o NP , frases não de primeira ordem, como GC.
Para fins práticos:
ele encontrará uma prova apenas se houver uma (ou seja, a sentença não é uma frase indecidível no ZFC); além disso, a prova deve ser possível de forma curta.
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