No artigo "Sobre a complexidade de alguns jogos de colorir", Bodlaender faz algumas perguntas em aberto sobre a complexidade de decidir se o jogador 1 ou 2 tem uma estratégia vencedora em alguns jogos de colorir gráficos. Alguém sabe se eles foram resolvidos?
1) Em um jogo, dois jogadores se revezam selecionando um vértice em um gráfico e colorindo-o adequadamente com uma cor de um conjunto finito fixo. O perdedor é o primeiro jogador que não consegue colorir um vértice. No artigo de Schaefer, ele mostra que o pspace é completo com 1 cor e o Bodlaender mostra que ele é pspace completo com 2 cores, mas não dá resposta com mais cores. Ainda está aberto?
2) Em outra variação, os vértices têm números 1..n. No turn de um jogador, ele deve colorir adequadamente o vértice com o número mais baixo que ainda não foi colorido. Novamente, eles estão usando cores de um conjunto fixo e o perdedor é o primeiro jogador que não consegue colorir seu vértice. O Bodlaender mostra que ele é completo no pspace para gráficos gerais. Ele pergunta quem ganha nas árvores, é conhecido?
obrigado
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Respostas:
Parece que este documento tem algo do que você está procurando: http://arxiv.org/abs/1202.5762
A forma geral da primeira pergunta é uma redução realmente simples: usando as cores {0, ..., n-1}, comece com uma instância do Node Kayles e crie um vértice para cada uma das cores de 1 a n-1 e conecte para cada vértice incolor. Agora, essas cores não podem ser reproduzidas e você ainda está jogando o jogo Node Kayles.
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