Quando um gráfico admite uma orientação na qual há no máximo uma caminhada?

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Considere o seguinte problema:

Entrada: um gráfico simples (não direcionado) .G=(V,E)

Pergunta: Existe uma orientação do satisfazendo a propriedade que, para cada s , t V existe no máximo um (dirigida) s - t caminhada?Gs,tVst

Isso pode ser equivalente a:

Entrada: um gráfico simples (não direcionado) .G=(V,E)

Pergunta: Existe uma orientação acíclica de satisfazendo a propriedade de que para cada s , t V existe no máximo um caminho (direcionado) s - t ?Gs,tVst

Qual é a classe de gráficos para a qual a resposta é "sim"? Esse problema pode ser resolvido em tempo polinomial?


Algumas observações:

  1. Se o gráfico for bipartido, a resposta será "sim".
  2. Se o gráfico tiver um triângulo, a resposta será "não".

A primeira observação segue orientando as arestas de uma partição para outra. A segunda observação é fácil de verificar. Isso me levou a duas suposições incorretas:

  1. A resposta é "sim" se e somente se o gráfico for bipartido. (contraexemplo: o ciclo 5)
  2. A resposta é "sim" se e somente se o gráfico estiver sem triângulo (contraexemplo: o produto cartesiano de uma aresta com o ciclo 5)
Austin Buchanan
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Respostas:

10

É NP-completo por uma redução do não-igual-3SAT. Para ver isso, observe que

  • 4
  • PP5P5P

vkk444444-ciclo, para que esses gadgets possam interagir entre si apenas na orientação de suas bordas e não através da existência de caminhos mais longos.

4PP55

stst

David Eppstein
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Obrigado! Eu já havia encontrado o wiki com várias árvores antes. Parece que eles são quase o que eu quero. Uma diferença é que eu não quero a orientação acíclica do triângulo, mas essa é uma árvore múltipla.
Austin Buchanan
Eu gostaria de citar isso. Você prefere que eu cite de acordo com a resposta de Suresh aqui , ou de alguma outra maneira?
Austin Buchanan
O método na resposta de Suresh é bom. BTW, re multitrees: a ordem acíclica de um triângulo é aceitável se você estiver pensando nela como a relação binária de uma ordem parcial sem N, mas não para a versão DAG da definição, porque os DAGs devem ser transitivamente reduzido e o triângulo acíclico não é. Então, eu acho que multípedes (como DAGs) são realmente a mesma coisa que na sua pergunta.
David Eppstein