Probabilidade de dois vértices serem conectados por algum caminho em um gráfico direcionado aleatório

8

Defina como um gráfico direcionado aleatoriamente ( vértices; colocamos aresta entre dois vértices com probabilidade ).n pG(n,p)np

Quais são os resultados conhecidos para o seguinte problema:

Corrija dois vértices e . Qual é a probabilidade de que existe pelo menos um caminho (de comprimento no máximo ) entre e ? (claramente o resultado deve ser uma função de , e ). O limite superior funcionaria também, se não houver resposta exata conhecida.u k u v n p kvukuvnpk

Daniel
fonte
Quais valores de você está considerando? p
Igor Shinkar 29/11
@IgorShinkar faz muita diferença? Eu não tenho um número específico em mente; apenas uma probabilidade . p(0,1)
Daniel
Você tentou modificar a abordagem padrão Erdos-Renyi e, em caso afirmativo, quais são as dificuldades?
usul
2
Você já pensou em calcular o número esperado de caminhos? Isso deve ser muito mais fácil de calcular / estimar devido à linearidade das expectativas. Seria também um bom proxy para a probabilidade de haver um caminho. ou seja, se o número esperado de caminhos for 0,01, com probabilidade de pelo menos 99%, não haverá caminho. E se o número esperado de caminhos for 100, acho que existe um caminho com alta probabilidade.
Thomas
Boa sugestão Thomas. Apenas para ter certeza de que entendi sua idéia: indique o número do caminho de comprimentoY i ii com . O número esperado de caminho de comprimento é (certo?). Defina "X_i = (Y_i> 0)", que mostra o evento de ter um caminho de tamanho entre dois vértices (existência de caminho). Eu sei que , que é delimitado por . Isso daria um limite superior de em . YiiE[Yi]=(n2i1)(i1)!pii(i>0)P(Xi)=P(Yi>0)=j=1P(Yi=j)E[Yi]=j=0j.P(Yi=j)i=1kE[Yi]P(i=1kXi=1)=P(i=1kYi>0)
Daniel

Respostas:

3

Considere um processo de exploração de BFS, que prossegue em estágios. Coloque . Dado , explore todas as arestas de a (onde é o conjunto de todos os vértices) e defina para consistir em todos vértices alcançados dessa maneira; seu número tem uma distribuição binomial que pode ser facilmente calculada. Após etapas, verifique se o vértice pertence a .kV0={u}V0,,ViViVj=0iVjVVi+1kvj=0kVj

Observe que esse processo é exatamente o mesmo nos casos não direcionado e direcionado. Portanto, a resposta, seja ela qual for, é idêntica para os dois modelos. Presumivelmente, no caso não direcionado, a resposta é conhecida e pode ser procurada. Caso contrário, você pode tentar estimar estimando os tamanhos|Vi|e assim a probabilidadeque pertence a .1n1i=1k|Vi|vi=1kVi

Yuval Filmus
fonte
Por que o voto negativo?
Yuval Filmus
isso daria uma probabilidade de um caminho de comprimento exatamente k, não no máximo k; isso está correto?
Daniel
1
Como está escrito, é para a variante "no máximo".
Yuval Filmus