Defina como um gráfico direcionado aleatoriamente ( vértices; colocamos aresta entre dois vértices com probabilidade ).n p
Quais são os resultados conhecidos para o seguinte problema:
Corrija dois vértices e . Qual é a probabilidade de que existe pelo menos um caminho (de comprimento no máximo ) entre e ? (claramente o resultado deve ser uma função de , e ). O limite superior funcionaria também, se não houver resposta exata conhecida.u k u v n p k
Respostas:
Considere um processo de exploração de BFS, que prossegue em estágios. Coloque . Dado , explore todas as arestas de a (onde é o conjunto de todos os vértices) e defina para consistir em todos vértices alcançados dessa maneira; seu número tem uma distribuição binomial que pode ser facilmente calculada. Após etapas, verifique se o vértice pertence a .k V0={u} V0,…,Vi Vi V∖⋃ij=0Vj V Vi+1 k v ⋃kj=0Vj
Observe que esse processo é exatamente o mesmo nos casos não direcionado e direcionado. Portanto, a resposta, seja ela qual for, é idêntica para os dois modelos. Presumivelmente, no caso não direcionado, a resposta é conhecida e pode ser procurada. Caso contrário, você pode tentar estimar estimando os tamanhos|Vi| e assim a probabilidadeque pertence a .1n−1∑ki=1|Vi| v ⋃ki=1Vi
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