O ésimo polinômio simétrico elementar é a soma de todos os produtos \ binom {n} {k} de k variáveis distintas. Estou interessado na complexidade aritmética monotônica (+, \ times) desse polinômio. Um algoritmo de programação dinâmica simples (assim como a Fig. 1 abaixo) fornece um circuito (+, \ times) com portas O (kn) .
Pergunta: Um limite inferior de conhecido?
Um circuito é inclinado se pelo menos uma das duas entradas de cada porta do produto for uma variável. Esse circuito é realmente o mesmo que a rede de comutação e retificação (um gráfico acíclico direcionado com algumas arestas rotuladas por variáveis; cada caminho st fornece o produto de suas etiquetas e a saída é a soma de todos os caminhos st). Já há 40 anos, Markov provou um resultado surpreendentemente apertado: um circuito aritmético monotônico mínimo para tem exatamente portas de produto. O limite superior segue da Fig. 1:
Mas não vi nenhuma tentativa de provar um limite tão baixo para circuitos não inclinados. É apenas nossa "arrogância" ou há algumas dificuldades inerentes observadas ao longo do caminho?
PS: Eu sei que as portas são necessárias para calcular simultaneamente todos os . Isso segue do limite inferior do tamanho dos circuitos booleanos monótonos que classificam a entrada 0-1; veja a página 158 do livro de Ingo Wegener . A rede de classificação da AKS também implica que as portas sejam suficientes nesse caso (booleano). Na verdade, Baur e Strassen provaram um \ Theta (n \ log n) vinculado ao tamanho do circuito aritmético não monótono para . Mas e os circuitos aritméticos monótonos ?
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