Problemas com Agoritmos de Tempo Exponencial Único Desconhecido

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Estou procurando exemplos de problemas para os quais é fácil obter algoritmos em execução no tempo ou 2 O ( n c ) para alguns c > 1, mas para os quais não se sabe se existe um algoritmo em execução no tempo 2 O ( n ) .2O(nregistron)2O(nc)c>12O(n)

Estou interessado principalmente em problemas teóricos dos grafos, mas outros bons exemplos também seriam bem-vindos.

Por exemplo, é trivial desenvolver um algoritmo executando no tempo para o problema do caminho hamiltoniano. Apenas teste todas as permutações. Usando programação dinâmica, no entanto, é possível atingir o tempo 2 O ( n ) . Existem outros problemas de conectividade natural ou variações do problema do caminho hamiltoniano para os quais nenhum algoritmo em execução no tempo 2 O ( n ) é conhecido?O(n!)=2O(nregistron)2O(n)2O(n)

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Respostas:

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No problema do homomorfismo do gráfico , a entrada são dois gráficos e H e a questão é se existe um mapeamento h dos vértices de G para os vértices de H, de modo que, para cada aresta u v E ( G ) , tenhamos h ( u ) h ( v ) E ( H ) .GHhGHvocêvE(G)h(você)h(v)E(H)

O problema pode ser resolvido no tempo através de um algoritmo de força bruta (os ó * notação Q couros factores polinomial no tamanho da entrada).O(|V(H)||V(G))O

No entanto, está aberto se ele pode ser resolvido no tempo , e isso aparece como uma pergunta em aberto noO(c|V(H)|+|V(G)|)

  • Fedor V. Fomin, Pinar Heggernes, Dieter Kratsch: Algoritmos Exatos para Homomorfismos de Gráficos . Teoria Comput. Syst. 41 (2): 381-393 (2007)
Serge Gaspers
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De facto, assumindo exponencial Tempo hipótese, pode-se provar que não existe qualquer algoritmo de tempo: apertado minorantes no Gráfico incorporação ProblemasO(c|V(H)|+|V(G)|)
ivmihajlin
Obrigado pelo ponteiro! A última seção desse documento também contém problemas de incorporação mais concretos, para os quais não está claro se os algoritmos de tempo exponencial único podem ser obtidos.
Serge Gaspers /
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Isomorfismo Permutacional de Grupos de Permutação, também conhecido como Conjugação de Grupos de Permutação:

Entrada: Duas listas de permutações em , digamos ( π 1 , , π k ) e ( ρ 1 , , ρ )Sn(π1,,πk)(ρ1,,ρ)

Saída: Uma permutação tal que π - 1π 1 , ... , π kπ = p 1 , ... , p l de , ou "não isomórfico"πSnπ-1π1,,πkπ=ρ1,,ρ

(onde significa o subgrupo gerado pelo π i ).π1,,πkπEu

Como no exemplo do caminho hamiltoniano, existe um trivial ! = 2 O ( n log n ) algoritmo. O mais conhecido atualmenten!=2O(nregistron) é onde L = π 1 , ... , π k . Note que | G | pode ser tão grande quanto n ! (trivialmente: G = S n2O(n)|G|O(1)G=π1,,πk|G|n!G=Sn) ou até para G não trivial (consulte, por exemplo, o Teorema de O'Nan-Scott ). * Removendo a dependência de | G | foi deixado lá como um importante problema em aberto.n!/nO(1)G|G|

* - Apesar de ser grande, portanto, na pior das hipóteses, isso parece assintoticamente não melhor que trivial, acontece que 2 O ( n ) | G | O ( 1 ) foi exatamente o necessário para o teste de isomorfismo no tempo polinomial de grupos sem subgrupos normais abelianos.G2O(n)|G|O(1)

Joshua Grochow
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Calculando o número de cruzamento de um gráfico. Os algoritmos exatos existentes envolvem a formulação como um programa linear inteiro com um número de variáveis ​​cúbicas no número de arestas [Chimani et al, ESA 2008] . Mesmo para o número restrito de cruzamento de uma página, no qual os vértices são colocados no limite de um disco e nas bordas internas do disco, algoritmos conhecidos são exponenciais em vez de exponenciais individuais [Bannister et al. GD 2013] .O(nregistron)

David Eppstein
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