Verificando uma sutileza da prova original de Karp de que o SAT tem uma redução de tempo polinomial para 3SAT

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Em poucas palavras, minha pergunta é: a prova original de Karp está reduzindo o SAT para 3SAT desnecessariamente elaborado? Os detalhes são os seguintes.

Em seu artigo de 1972, Redutibilidade entre problemas combinatórios , Karp provou que o SAT se reduz a 3SAT, afirmando:

Substituir um cláusula , onde o σ i são literais e m > 3 , por ( σ 1σ 2u 1 ) ( σ 3... σ mˉ u 1 ) ( ˉ σ 3u 1 ) ... ( ˉ σ muσ1σ2σmσim>3 que u 1 é uma nova variável. Repita essa transformação até que nenhuma cláusula tenha mais de três literais.

(σ1σ2u1)(σ3σmu¯1)(σ¯3u1)(σ¯mu1),
u1

Parece-me que as cláusulas finais (ou seja, as cláusulas que contêm dois literais) aqui são desnecessárias. Portanto, a construção está correta como está escrita, mas é mais elaborada do que o necessário. Sem as cláusulas 2-literais, obtemos a construção geralmente dada nos livros didáticos de graduação. Isso está correto ou estou faltando algo óbvio? Sinto-me extremamente inseguro, sugerindo que qualquer coisa feita por Karp possa ser expressa de maneira mais elegante.m2

John MacCormick
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Respostas:

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(σ1σ2u1)(σ3σmu¯1)σiu1σiu1u¯1

u1σ3σm

Klaus Draeger
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Obrigado pela resposta útil. Reformulando para ampliar e verificar meu entendimento, outra maneira de afirmar isso é que as cláusulas extras garantem que essa é uma redução de #SAT para # 3SAT (uma vez que preservam o número de soluções e não apenas a existência de soluções).
precisa