Largura do caminho do desenho planarizado de

A largura do caminho do gráfico bipartido completo K_ com conjuntos de de tamanho e é no máximo . Estou interessado em planejar este gráfico pelo seguinte processo:$K_{3,n}$$3$$n$$3$

1. Desenhe-o no plano de modo que nenhuma aresta contenha um vértice em seu interior e que não mais que 2 arestas se cruzem a qualquer momento.
2. Substitua cada ponto de cruzamento de duas arestas por um novo vértice de grau 4.

Então o gráfico resultante é claramente plano. Embora tenha uma largura de caminho constante, algumas investigações preliminares sugerem que, independentemente do desenho que você usa para , você não pode garantir que o gráfico planarizado tenha uma largura de caminho constante independente de ; Eu acredito que a largura do caminho do gráfico planarizado deve crescer com . Isso é conhecido ou está implícito em algum resultado existente?$K_{3,n}$$K_{3,n}$$n$$n$

Por outro lado, tenho uma família de gráficos de grau constante e largura de caminho limitada, que posso planejar sem aumentar a largura de caminho em mais do que uma constante. Existe um resultado geral dizendo que isso sempre é possível para gráficos de grau limitado e largura de caminho?

Um desenho ingênuo de terá largura de caminho . Eu acho que é apertado, e que a largura do caminho é sempre . Aqui está um argumento do porquê. O ( n ) Ω ( n $K_{3,n}$$O(n)$$\Omega(n)$

(1) Corrija um desenho de . Sem perda de generalidade, podemos assumir que não há duas arestas cruzadas e que não há duas arestas cruzadas duas vezes; caso contrário, podemos modificar o desenho para eliminar essas passagens sem prejudicar a largura do caminho. Todo de tem uma travessia, existem maneiras de estender qualquer travessia específica para um e há subgráficos. Portanto, o número de cruzamentos é pelo menos . (Na verdade, um limite estreito aproximadamente é conhecido, mas não altera o resto.) K 3 , 3 K 3 , n n - 2 K 3 , $K_{3,n}$$K_{3,3}$$K_{3,n}$$n-2$$K_{3,3}$$\tbinom{n}{3}$ $K_{3,3}$$n^2/6$$n^2/4$

(2) Defina como o conjunto de todas as arestas em e considere qualquer arranjo linear dos cruzamentos em todo o desenho. Repita as seguintes etapas:$S$$K_{3,n}$

(2a) considerar o ponto de que o arranjo que bissecta os cruzamentos entre os pares de bordos em . Defina uma aresta de a ser "recortada" se todos os seus pontos de cruzamento com outras arestas em estiverem na mesma metade dessa bissecção e "sem cortes", caso contrário.$S$$S$$S$

(2b) Se houver pelo menos arestas cortadas do desenho (para alguma constante constante ), cada um deles contribuirá com uma aresta da planarização que também cruza o ponto de bissecção do arranjo linear. Isso mostra que o arranjo linear tem número de separação de vértices , mas como a largura do caminho é apenas o número mínimo de separação de vértices de um arranjo linear, a largura do caminho também é .$\epsilon n$$\epsilon$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

(2c) No caso restante, existem muito poucas arestas cortadas; portanto, a maioria das passagens em vem de pares de arestas não cortadas, que devem estar do mesmo lado da bissecção. Quase metade do - cruzamentos são em cada lado da bissecção, e pelo menos um dos dois lados da bissecção tem menos de metade das bordas em . Substitua pelo subconjunto de arestas desse lado e repita.$S$$S$$S$$S$$S$

(3) Cada repetição dos passos (2a) - (2c) duplica aproximadamente a densidade de cruzamentos / pares de arestas em , porque o número de cruzamentos é dividido pela metade e o número de pares de arestas é dividido em quatro. Essa densidade já começa constante e não pode exceder uma. Portanto, após um número constante de repetições, a etapa (2b) conseguirá encontrar um número linear de arestas de corte, mostrando que a largura do caminho é pelo menos linear.$S$

Quanto à sua sugestão de que os gráficos de largura de caminho limitado de grau delimitado possuem layouts cuja planarização limitou a largura de caminho: isso parece realmente verdade.

Encontre uma ordem linear dos vértices do gráfico fornecido com o número de separação de vértices delimitado: ou seja, em cada ponto de uma varredura da esquerda para a direita da ordem, deve haver finitos muitos vértices à esquerda do ponto de varredura que têm vizinhos à direita. Desenhe o gráfico em uma varredura da esquerda para a direita dessa ordem, com as bordas colocadas em faixas horizontais, com cada um dos vértices parcialmente concluídos com um conjunto de faixas para que as bordas restantes sejam conectadas à direita. Assim, o número total de faixas é o produto do grau com a largura do caminho,$O(1)$$O(1)$. Quando você alcança um novo vértice, pode adicionar conectores quase verticais às trilhas de outros vértices que devem ser conectados a ela e conexões mais curtas às trilhas de saída. Aqui está um exemplo, com a separação de vértices número três, grau três e três trilhas por vértice.

Esse layout também tem um número de separação limitado, porque os únicos cruzamentos estão nas trilhas, para que possa haver no máximo um vértice com uma vizinhança incompleta por trilha. Portanto, a largura do caminho da planarização também é e, mais precisamente, é proporcional ao produto do grau e à largura do caminho original.$O(1)$