Um resultado fundamental na complexidade parametrizada dos problemas gráficos é que VERTEX COVER parametrizado pelo tamanho da solução é um parâmetro fixo-tratável (FPT). Por outro lado, quando parametrizado pelo "parâmetro duplo" , torna-se equivalente a INDEPENDENT SET parametrizado pelo tamanho da solução (porque qualquer cobertura de vértice é o complemento de um conjunto independente) e, portanto, é W [1] -hard.
Embora isso pareça menos natural, estou interessado na complexidade parametrizada do VERTEX COVER para o parâmetro . Este é um parâmetro maior que . O VERTEX COVER FPT é para este parâmetro?
Nota: Também estou interessado em parametrizações semelhantes para outros problemas de gráfico (por exemplo, DOMINATING SET). O único lugar onde vi os dois tipos de parâmetros duplos estudados é para o problema do hipergrama TEST COVER no artigo de 2012 " Estudo parametrizado do problema da tampa do teste ", de Crowston, Gutin, Jones, Saurabh e Yeo. (também no arXiv )
Edit (12/04/2016): Esta parametrização também é estudada para o outro problema do hipergráfico HITTING SET no artigo de 2011 Kernels para parametrizações abaixo do limite superior do conjunto de batidas e problemas de conjuntos dominantes direcionados por Gutin, Mones e Yeo ( arXiv link ).
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Eu acho que esse problema é FPT. Suponha que o gráfico contenha um caminho nos vértices . Então, afirmo que a resposta é SIM: selecionamos o segundo, quarto, sexto etc. vértices desse caminho em uma solução e os removemos do gráfico. Agora temos um gráfico com . É fácil encontrar uma cobertura de vértice de com tamanho máximo. Juntamente com os vértices removidos isto dá uma cobertura de vértices de tamanho no máximo para .2k+1 G′ |E(G′)|≤|E(G)|−2k G′ |E(G′)| |E(G)|−k G
Se o gráfico não contiver um caminho nos vértices , uma árvore DFS do gráfico terá altura no máximo e, portanto, poderá ser usada para construir uma decomposição de árvore com largura no máximo . Podemos então resolver a Vertex Cover de maneira otimizada com o algoritmo padrão para largura de árvore.2k+1 2k+1 2k
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