Linguagens regulares e complexidade constante de comunicação

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Vamos LA seja um idioma, e definir fL:A×A{0,1} por fL(x,y)=1 sse xyL . Estou procurando uma referência para:

Proposição. L é regular se a complexidade determinística da comunicação de fL é constante.

LPfL

nmax{comm(P,x,y):|xy|=n}
comm(P,x,y)xyP

O único lugar que pude encontrar é na tese de doutorado de George Hauser, 1989, disponível aqui , onde ele também generaliza isso para outras distribuições da entrada entre Alice e Bob, de modo que o número de "cortes" seja constante.xy

Michaël Cadilhac
fonte
Pegue um idioma que não seja regular e defina . Então tem complexidade de comunicação , mas certamente não é regular. o que estou perdendo? CL={cr:cC,r{0,1}|c|}LO(1)
Igor Shinkar
@IgorShinkar: Não sei se entendi exatamente o que você escreveu lá, mas você parece estar sugerindo a prova clássica de que todo idioma com uma única palavra por comprimento pode ser transformado em um idioma com constante complexidade de comunicação. No entanto, isso pressupõe que Alice e Bob recebem exatamente metade da palavra sendo testada; aqui, não existe tal suposição e, de maneira contraditória, eles devem resolver o problema, dada qualquer divisão da entrada. Isso responde à sua pergunta?
Michaël Cadilhac
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Ah eu vejo. Portanto, para qualquer divisão, o CC é constante, então é regular. L
Igor Shinkar

Respostas:

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Para , você tem "Complexidade da comunicação", Eyal Kushilevitz em Avanços em computadores, volume 44, 1997 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423 ).

Você também pode encontrar a seção "Complexidade da comunicação e hierarquia de Chomsky" no livro "Complexidade da comunicação e computação paralela", de Juraj Hromkovič, onde é comprovada. Pode ser que também esteja comprovado em algum lugar do livro, mas não consigo encontrá-lo aqui. O mais próximo que parece haver é o Exercício 5.2.5.2, mas é apenas um exercício (veja também o Capítulo 5 inteiro, que estuda extensivamente o autômato finito, mas não acho que ele responda explicitamente à sua pergunta).

Pelo que vale a pena, a prova de ambas as direções parece fácil, então acho que, se você precisar dela em um artigo, pode esboçá-la rapidamente: para , pegue um autômato finito para e observe que Alice é suficiente para se comunicar o estado que ela alcança após ter lido sua parte da entrada. Então Bob termina a simulação nos autômatos. Para , se você possui um protocolo limitado por uma constante, possui um número finito de quociente que é uma caracterização bem conhecida de linguagens regulares .LLw1L={u:wuL}

holf
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Muito obrigado pela sua contribuição. Concordo que é um resultado fácil e natural, e provavelmente deveria ser considerado folclore. Conheço as duas referências que você fornece muito bem e, como você fez, não consegui encontrar o protocolo que estou considerando acima. Como esta pergunta é uma "solicitação de referência", receio que não possa aceitar sua resposta neste momento.
Michaël Cadilhac
Eu sei, mas foi muito longo para um comentário e acho que ainda vale a pena mencionar que pelo menos uma maneira é provada explicitamente na literatura. Eu deixo você saber se eu tropeçar na prova!
Holf
Muito apreciado! :-)
Michaël Cadilhac