Como acompanhamento da minha pergunta anterior , resolvida por Hsien-Chih Chang, aqui está outra tentativa de encontrar uma generalização apropriada do teorema de Ramsey. (Você não precisa ler a pergunta anterior; esta postagem é independente.)
Parâmetros: números inteiros são dados e, em seguida, é escolhido para ser suficientemente grande. Terminologia: um subconjunto é um subconjunto de tamanho .
Seja . Para cada -subset , atribuir uma cor .
Definições:
- f ( S ) = f ( S ′ ) k S ⊂ X S ′ ⊂ X é monocromática , se para todos os -subsets e .
- é diverso se modo que e para todos i .
Por exemplo, se , então é diverso, mas não é. Observe que um subconjunto de um conjunto diverso não é necessariamente diverso.
Agora o teorema de Ramsey diz que não importa como nós escolhemos , há uma monocromática -subset . E, obviamente, é trivial para encontrar uma diversificada -subset .
Pergunta: existe sempre uma diversificada e monocromático -subset ?
Edit: Hsien-Chih Chang mostra que a afirmação é falsa para um primo , mas e o composto ? Nos meus aplicativos, terei muita liberdade na escolha dos valores exatos de , desde que eu possa torná-los arbitrariamente grandes. Eles podem ser poderes de números primos, produtos de números primos ou o que for necessário para tornar a afirmação verdadeira.
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Eu posso ter entendido mal sua pergunta, mas se não, acho que é falsa. Colora os k-sets cujos membros são todos os módulos congruentes d de vermelho e os outros k-sets de azul. Se n> kd, qualquer conjunto n deve conter um conjunto k cujos membros sejam todos módulo congruente d e, portanto, é vermelho. Por outro lado, se um conjunto k contém dois elementos consecutivos de um conjunto n diverso, então é azul.
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