Generalização da afirmação de que um monóide reconhece a linguagem se o monóide sintático divide o monóide

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Seja um alfabeto finito. Para um determinado idioma L A * o monoid sintática M ( L ) é uma noção bem conhecida na teoria da linguagem formal. Além disso, um monóide M reconhece uma linguagem L se existir um morfismo φ : A M tal que L = φ - 1 ( φ ( L ) ) ) .ALA M(L)MLφ:AML=φ1(φ(L)))

Então temos o bom resultado:

Um monóide reconhece L A se M ( L ) é uma imagem homomórfica de um submonóide de M (escrito como M ( L ) M ).MLAM(L)MM(L)M

O acima é geralmente estados no contexto de linguagens regulares, e os monoides acima são todos finitos.

Agora, suponha que substituamos com um monóide arbitrário N , e dizemos que um subconjunto L N é reconhecido por M se existe um morfismo φ : N M, de modo que L = φ - 1 ( φ ( L ) ) . Ainda temos que, se M reconhece L , então M ( L ) M (veja S. Eilenberg, Autômatos, Máquinas e Idiomas, Volume B), mas o inverso é válido?ANLNMφ:NML=φ1(φ(L))MLM(L)M

Na prova de o inverso é comprovado pela exploração da propriedade de que se N = φ ( M ) para algum morfismo φ : M N e ψ : A N também é um morfismo, então podemos encontrar ρ : A M tal que φ ( ρ ( u ) ) = ψ ( u ) se mantenha, simplesmente escolhendo ρ ( x ) AN=φ(M)φ:MNψ:ANρ:AMφ(ρ(u))=ψ(u) para cada x A e prolongando-se este a um morfismo de A * a M . Mas isso não funciona para monoides arbitrários N, então espero que o inverso acima seja falso então. E se for falsa, para que tipo de monoid lado A * é ainda verdadeiro, e que aqueles monoids têm recebido atenção na literatura de pesquisa?ρ(x)φ1(ψ(x))xAAMNA

StefanH
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Fim do primeiro parágrafo: não seria L em vez de A?
Mateus de Oliveira Oliveira
@MateusdeOliveiraOliveira Sim, obrigado por perceber!
217188 StefanH

Respostas:

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Sim, esses monóides receberam atenção na literatura de pesquisa e, na verdade, levam a perguntas difíceis.

Definição . Um monóide é chamado projetivo se a seguinte propriedade é válida: se f : N R é um morfismo monóide e h : T R é um morfismo surjetivo, existe um morfismo g : N T tal que f = h g .Nf:NRh:TRg:NTf=hg

Você pode encontrar uma longa discussão sobre monoides projetivos em [1], logo após a definição 4.1.33. Mostra-se, em particular, que todo semigrupo finito projetivo é uma banda (um semigrupo no qual todo elemento é idempotente). Mas o inverso não é verdadeiro e é realmente um problema aberto decidir se um semigrupo finito é projetivo.

[1] J. Rhodes e B. Steinberg, a teoria- de semigrupos finitosq . Monografias Springer em Matemática. Springer, Nova York, 2009. xxii + 666 pp. ISBN: 978-0-387-09780-0

J.-E. PIN
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Obrigado pela sua resposta! Mas essa propriedade é realmente necessária, quero dizer, é suficiente, mas a "propriedade de divisão" do monóide sintático realmente falha em geral e, em caso afirmativo, você tem um exemplo (ou contra-exemplo de que, se o monóide sintático dividir outro monóide , o outro monóide também reconhece o subconjunto do qual o monóide sintático é construído)?
217188