Existe um algoritmo que encontre os menores proibidos?

O teorema de Robertson-Seymour diz que qualquer de gráficos de família menos fechada pode ser caracterizado por finitos muitos menores proibidos. $\mathcal G$

Existe um algoritmo que para uma entrada gera os menores proibidos ou isso é indecidível? $\mathcal G$

Obviamente, a resposta pode depender de como é descrito na entrada. Por exemplo, se é dado por um que pode decidir ser membro, não podemos nem decidir se rejeita alguma coisa. Se é dado por muitos menores proibidos - bem, é isso que estamos procurando. Gostaria de saber a resposta se é garantido para parar em qualquer em um período fixo de tempo em. Também estou interessado em quaisquer resultados relacionados, em que provou ser fechado por pouco com algum outro certificado (como no caso do $\mathcal G$ $\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $G$ $|G|$ $\mathcal G$ $TFNP$ ou PROVA ERRADA ).

Atualização: A primeira versão da minha pergunta acabou sendo bastante fácil, com base nas idéias de Marzio e Kimpel, considere a seguinte construção. aceita um gráfico em vértices se e somente se não parar em etapas. Isso é pouco fechado e o tempo de execução depende apenas de . $M_\mathcal G$ $n$ $M$ $n$ $|G|$

graph-theory decidability graph-minor domotorp
fonte

é representado por uma TM

sempre parada , você pode reduzir o problema de parada: dado

build

que gera sim se e somente se

parar exatamente em

etapas (

é uma enumeração gráfico padrão).

aceita, no máximo, uma pequena proibido, de modo que

é uma família pequena fechada; portanto, o problema é indecidible.

G

$\mathcal G$

M_{G}

$M_\mathcal G$

M

$M$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

M

$M$

x

$x$

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G

$\mathcal G$

Marzio De Biasi

@ ThomasKlimpel: Ops, eu entendi errado a pergunta. Talvez uma correção seja:

procure o primeiro

modo que

pare exatamente nas etapas

e aceite se não é menor de ; rejeitar o contrário.

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$

M

$M$

i

$i$

G_{i}

$G_i$

G_{x}

$G_x$

Marzio De Biasi

@Marzio Sim, para simplificar:

aceita um gráfico em

vértices se e somente se

não parar em

passos. Isso é pouco fechado e o tempo de execução depende apenas de

M_{G}

$M_\mathcal G$

n

$n$

M

$M$

n

$n$

| G |

$|G|$

Domotorp #

Bem, eu interpreto interrompendo que, se

parar em

etapas, também dizemos que ele pára em

etapas.

M

$M$

2

$2$

3

$3$

Domotorp #

@domotorp Como a sua construção funciona (se não me engano) e responde a uma de suas perguntas (e desde que Marzio De Biasi e eu tentamos criar uma construção tão simples sem sucesso), acho que você deve transformar sua construção em um resposta adequada. Você pode torná-lo um wiki da comunidade, se não se sentir à vontade para responder sua própria pergunta. Como alternativa, você pode editar sua pergunta e adicionar a resposta lá.

9788 Thomas Klimpel #

Respostas:

A resposta de Mamadou Moustapha Kanté (que fez seu doutorado sob a supervisão de Bruno Courcelle) a uma pergunta semelhante cita Uma Nota sobre a Computabilidade de Conjuntos de Obstrução Menor em Gráfico para Ideais Monádicos de Segunda Ordem (1997) por B. Courcelle, R. Downey e M. Procura um resultado não computável (para classes de gráficos definíveis por MSOL , ou seja, classes definidas por uma fórmula Monadic de segunda ordem) e As obstruções de um conjunto de gráficos menores e fechados, definidas por uma gramática livre de contexto (1998) por B Courcelle e G. Sénizer defendem um resultado de computabilidade (para classes de gráfico definíveis por RH , ou seja, classes definidas por uma gramática Hyperedge Replacement).

A diferença crucial entre o caso computável e o não computável é que as classes de gráfico definíveis por HR (fechadas pelo menor) têm limite de largura de árvore, enquanto as classes de gráfico definíveis pelo MSOL (fechadas pelo menor) não precisam ter largura de árvore limitada. De fato, se uma classe de gráfico definível por MSOL (fechada por pouco tempo) limitou a largura da árvore, ela também é definível por HR.

A largura da árvore parece ser realmente a parte crucial para separar os casos computáveis dos não computáveis. Outro resultado conhecido (de M. Fellows e M􏰊.􏰊 Langston) basicamente diz que, se um limite para a largura máxima de árvore (ou largura de caminho) do conjunto finito de menores excluídos é conhecido, então o conjunto mínimo (finito) de menores excluídos se torna computável.

Nem se sabe se o conjunto mínimo (finito) de menores excluídos para a união (que é trivialmente fechado a menor) de duas classes de gráfico fechado a menor, cada uma dada pelo respectivo conjunto finito de menores excluídos, pode ser calculado, se nenhuma informação sobre a largura da árvore (ou largura do caminho) está disponível. Ou talvez tenha sido provado, entretanto, que não é computável em geral.

Thomas Klimpel
fonte

Esta última parte é bastante interessante. Se entender bem, isso implica o seguinte. Para uma família de gráficos

, denote por

o tamanho do maior menor mínimo proibido. Seja

. Então não existe um limite superior recursivo conhecido para

G

$\mathcal G$

m (G)

$m(\mathcal G)$

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$

f (n)

$f(n)$ . Você conhece alguns exemplos que mostram que

cresce muito rápido?

f (n)

$f(n)$

Domotorp #

@domotorp Eu concordo, bom ponto. Tenho algumas idéias para tais exemplos, mas tenho a impressão de que a taxa de crescimento de todos os meus exemplos (que basicamente tentam brincar com a dimensão "grade") permanecerá dentro de ELEMENTARY. No entanto, acredito que, se eu quisesse investir tempo nessas questões, deveria primeiro fazer um estudo da literatura sobre o que aconteceu nos anos 2000-2018, talvez olhando artigos que citam os que eu conheço ou procurando em publicações posteriores dos autores que trabalharam nessas questões.

Thomas Klimpel

Vejo - bem, eu não estou desesperado para saber a resposta, só que eu fui surpreendido e ficou curioso ...

domotorp

@domotorp O conjunto mínimo de menores excluídos para a união foi mostrado para ser computável em 2008: logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/...

Thomas Klimpel