Estamos trabalhando em computadores distribuídos e descobrimos um problema de complexidade que reduz a um caminho mínimo que cobre o problema. Atualmente, não sabemos como resolvê-lo. O problema é o seguinte:
Vamos ser algum número inteiro, e deixá- Z k ser um gráfico contendo k ( k + 1 ) vértices. Marcamos cada vértice com um par(i,j), demodo que1≤i≤j≤k. A seguir, nomeamos vértices usando seu rótulo. O conjunto de arestas emZké definido da seguinte forma: {((i,j),(i′,j′))| i′>i∧j′≥i}.
Qual é a cobertura mínima do caminho de ?
Lendo "Problemas de cobertura de caminho em dígrafos e aplicativos para testar programas" por Ntafos et al. , vimos que a cobertura mínima do caminho é igual ao cardeal do maior conjunto incomparável de vértices. Estávamos pensando no seguinte conjunto: que tem um cardeal de k 2 .
Atenciosamente,
Pierre
Respostas:
Parece que seu gráfico é um DAG fechado transitivamente, certo? Em caso afirmativo (e isso provavelmente é uma reafirmação do que você diz em sua citação de Ntafos et al), o número mínimo de caminhos necessários para cobrir o DAG é apenas o número máximo de elementos incomparáveis em pares; esse é o teorema de Dilworth .
Seu exemplo pode ser simples o suficiente para identificar diretamente esse conjunto incomparável máximo, mas, em geral, é possível encontrá-lo em tempo polinomial, por um algoritmo baseado na correspondência de gráficos. A seção "Prova através do teorema de König" do artigo da Wikipedia sobre o teorema de Dilworth explica como.
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