O peso de uma cadeia binária x ∈ { 0 , 1 } n é o número de unidades na cadeia. O que acontece se estivermos interessados em calcular uma função monótona em entradas com poucas?
Sabemos que decidir se um gráfico possui uma classe é difícil para circuitos monótonos (ver, entre outros, Alon Boppana, 1987), mas se um gráfico tem, por exemplo, no máximo k 3 arestas, é possível encontrar um circuito monotônico de profundidade limitada de tamanho f ( k ) ⋅ n ó ( 1 ) que decide k -clique.
Minha pergunta: existe alguma função difícil de calcular por um circuito monótono, mesmo em entradas com peso menor que ? Aqui, duro significa o tamanho do circuito n k Ω ( 1 ) .
Melhor ainda: existe uma função monótona explícita que é difícil de calcular, mesmo que apenas nos importemos com entradas de peso e k 2 ?
Emil Jeřábek já observou que os limites inferiores conhecidos são válidos para circuitos monótonos que separam duas classes de entradas ( gráficos -cliques versus máximos ( a - 1 ) ), portanto, a custo de alguma independência no argumento probabilístico, é possível torná-lo trabalhar para duas classes de entrada de peso fixo. Isso faria com que k 2 fosse uma função de n que eu quero evitar.
O que realmente gostaria é uma função explícita e difícil para e k 2 muito menor que n (como na estrutura de complexidade parametrizada). Melhor ainda se k 1 = k 2 + 1 .
Observe que uma resposta positiva para implicaria um limite inferior exponencial para circuitos arbitrários.
Atualização : Esta pergunta pode ser parcialmente relevante.
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Respostas:
Considerando especificamente uma parte da questão (por exemplo, para = 1, k 2 = 2), Lokam estudou as funções de "duas fatias" neste documento e prova que limites mais baixos podem ser generalizados, portanto, isso é muito difícil. problema aberto relacionado à separação de classes de complexidade básica e qualquer construção / função explícita seria um avanço; do resumo:k1 k2
também como em seus comentários, SJ aborda esse caso semelhante em seu livro na seção que explora a complexidade estelar dos gráficos sec1.7.2.
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