Complexidade de circuitos monotônicos de funções de computação em entradas esparsas

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O peso de uma cadeia binária x { 0 , 1 } n é o número de unidades na cadeia. O que acontece se estivermos interessados ​​em calcular uma função monótona em entradas com poucas?|x|x{0,1}n

Sabemos que decidir se um gráfico possui uma classe é difícil para circuitos monótonos (ver, entre outros, Alon Boppana, 1987), mas se um gráfico tem, por exemplo, no máximo k 3 arestas, é possível encontrar um circuito monotônico de profundidade limitada de tamanho f ( k ) n ó ( 1 ) que decide k -clique.kk3f(k)nO(1)k

Minha pergunta: existe alguma função difícil de calcular por um circuito monótono, mesmo em entradas com peso menor que ? Aqui, duro significa o tamanho do circuito n k Ω ( 1 ) .knkΩ(1)

Melhor ainda: existe uma função monótona explícita que é difícil de calcular, mesmo que apenas nos importemos com entradas de peso e k 2 ?k1k2

Emil Jeřábek já observou que os limites inferiores conhecidos são válidos para circuitos monótonos que separam duas classes de entradas ( gráficos -cliques versus máximos ( a - 1 ) ), portanto, a custo de alguma independência no argumento probabilístico, é possível torná-lo trabalhar para duas classes de entrada de peso fixo. Isso faria com que k 2 fosse uma função de n que eu quero evitar.a(a1)k2n

O que realmente gostaria é uma função explícita e difícil para e k 2 muito menor que n (como na estrutura de complexidade parametrizada). Melhor ainda se k 1 = k 2 + 1 . k1k2nk1=k2+1

Observe que uma resposta positiva para implicaria um limite inferior exponencial para circuitos arbitrários.k1=k2

Atualização : Esta pergunta pode ser parcialmente relevante.

MassimoLauria
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À sua primeira pergunta (geral) (não sobre o Clique). Eu acho que mesmo o caso de entradas com no máximo é muito difícil. Faça um gráfico n × m bipartido G com m = o ( n ) . Atribua a cada vértice u uma variável booleana x u . Seja f2n×mGm=o(n)uxu ser uma função monótona booleano cujos termos completos são x ux v para as bordas u v de L . Vamos s (fG(x)xuxvuvG seja o tamanho mínimo de um circuito monótono que calcule corretamente f G em entradas com2 unidades. Então, qualquer limite inferior s ( G ) ( 2 + c ) n para uma constante c > 0 implicaria umlimite inferiorexponencialparacircuitosnão monotônicos. s(G)fG2s(G)(2+c)nc>0
Stasys
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Os argumentos existentes para circuitos monótonos precisam que muitas entradas com muitas ( ) sejam rejeitadas . O melhor que podemos fazer até agora é provar que exp ( min { a , n / b } 1n/2um limite inferior quando o circuito tem de aceitar todos osb-cliques, e rejeitar todos os completosde-partite gráficos (um<b). Btw importante é que você lida comesparsas, não comentradasdensas. Diga,kexp(min{a,n/b}1/4)baa<bk-Clique requer circuitos monotônicos de tamanho cerca de para cada constante k 3 , mas ( n - k ) -Clique possui circuitos monotônicos de tamanho O ( n 2 log n ) para cada constante k . nkk3(nk)O(n2logn)k
Stasys
Devo esclarecer que me preocupo com entradas esparsas no sentido de gráfico esparso. A procura de uma classe em um gráfico muito esparso (com, digamos, k 10 arestas) pode ser feita no tamanho do circuito monotônico FPT. kk10
MassimoLauria
Seu exemplo no primeiro comentário é muito bom. Se bem entendi, esse é um problema semelhante com as funções monótonas que são difíceis para um peso fixo . Usando funções de pseudo complemento para simular entradas negadas, a complexidade do circuito não difere entre maiúsculas e minúsculas e não monótonas. Para k constante (ou pequeno), esse pseudo complemento pode ser implementado com eficiência por um circuito monótono. kk
MassimoLauria 8/12/11
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meu primeiro comentário contou com a complexidade do gráfico. O fenômeno " " pode ser encontrado na página 13 deste rascunho . Aliás, eu não entendi direito o que você quer dizer com "difícil para kek + 1"? (A culpa é minha, é claro.)(2+c)n
Stasys

Respostas:

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Considerando especificamente uma parte da questão (por exemplo, para = 1, k 2 = 2), Lokam estudou as funções de "duas fatias" neste documento e prova que limites mais baixos podem ser generalizados, portanto, isso é muito difícil. problema aberto relacionado à separação de classes de complexidade básica e qualquer construção / função explícita seria um avanço; do resumo:k1k2

Uma função booleana f é chamada de função de 2 fatias se for avaliada como zero em entradas com menos de dois 1s e for avaliada como uma em entradas com mais de dois 1s. Nas entradas com exatamente dois 1's f pode ser definido de forma não trivial. Existe uma correspondência natural entre funções de 2 fatias e gráficos. Usando a estrutura de complexidade de gráficos, mostramos que limites inferiores monotônicos superlineares suficientemente fortes para a classe muito especial de funções de 2 fatias implicariam limites inferiores superpolinomiais sobre uma base completa para determinadas funções derivadas deles.

  • Complexidade do gráfico e funções das fatias / Satyanarayana V. Lokam, Theory Comput. Systems 36, 71–88 (2003)

também como em seus comentários, SJ aborda esse caso semelhante em seu livro na seção que explora a complexidade estelar dos gráficos sec1.7.2.

vzn
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