Limites na aproximação dos momentos de frequência

Seja uma sequência de números inteiros em que cada um é um j ∈ { 1 , 2 , … , n } . Para i ∈ { 1 , 2 , … , n } , deixe m i = | { j : a j = i } | . O k th momento frequência é definida como sendo$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

Em seu artigo bem conhecido, A complexidade espacial da aproximação dos momentos de frequência , Alon et al. dar um fluxo contínuo algoritmo que se aproxima usando cerca de O ( N 1 - $F_k$espaço. Eles também usam técnicas de complexidade de comunicação para obter um limite inferior deΩ(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$parak>5. Parak=0,1,2, eles fornecem limites superior e inferior mais ou menos correspondentes.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Houve melhorias nesses limites desde então e houve progresso para ?$k = 3,4,5$

Houve um bom progresso. No problema específico de , existe um limite superior e inferior correspondente de n 1 - 2 / k para k > 2 . Os limites superiores vêm deste artigo de Indyk e Woodruff (que apareceu no STOC 2005) e os limites inferiores são via estrutura de complexidade da informação, devido a Bar-Yossef et al e Chakrabarti et al .$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

Para k <= 2

1) k = 0, o limite é de http://people.seas.harvard.edu/~minilek/papers/f0.pdf .$O(1/\epsilon^2+log(n))$

2) k = 1, O papel por Alon et all dá uma referência ao papel por Morris que leva espaço.$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, acho que o esboço AMS do artigo é ideal

Algo relacionado.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$