Conectividade de gráficos por remoção de arestas e vértices

Digamos que um grafo é -connected se a remoção de qualquer vértices e qualquer arestas de folhas sempre um grafo conexo. Por exemplo, um gráfico conectado a , de acordo com a definição padrão, é conectado , de acordo com a nova definição. Existe um algoritmo de tempo polinomial para decidir se está conectado? Aqui considero que a entrada é , e . $G$ $(a,b)$ $a$ $b$ $G$ $k$ $(k-1,0)$ $G$ $(a,b)$ $G$ $a$ $b$

ds.algorithms graph-theory graph-algorithms alguém
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Problema de lição de casa?

Chandra Chekuri

Eu vim a esta pergunta durante uma conversa de Janez Zerovnik sobre conectividade de redes cerca de 2/3 anos. Para ser sincero, não me lembro dos detalhes. Desde então, perguntei a cerca de 4 pesquisadores e ninguém viu como reduzi-lo à conectividade de vértices (ou conectividade de borda), que seria a abordagem óbvia. Além disso, ninguém poderia apontar um teorema do tipo Menger. Então, sim, acho que essa é uma questão de nível de pesquisa, possivelmente com uma resposta simples ou não.

alguem

Não sei por que as pessoas às vezes assumem que uma pergunta é um dever de casa sem pensar primeiro. Eu acho que você não deve declarar algo como lição de casa, a menos que você saiba como resolvê-lo.

Domotorp

@domotorp: as pessoas geralmente estão perguntando se é um dever de casa, não reivindicando. É difícil julgar se uma pergunta está no nível da lição de casa ou não quando a pergunta não contém antecedentes / motivação.

Kaveh

Entendo que minha pergunta possa ser mal interpretada como lição de casa por vários motivos, mas agora devemos seguir em frente. Na verdade, com o comentário de Chandra Chekuri eu tenho alguma esperança de que talvez a questão pode ter uma resposta simples ...

alguém

Respostas:

Esta é uma versão editada de uma "resposta" anterior que reivindicou incorretamente um algoritmo de tempo polinomial para o problema. O que escrevo abaixo é uma conexão com um problema existente, o que sugere que o problema é difícil.

Deixe- ser dois nós em e queremos verificar se eles estão -connected. Essa é a remoção de qualquer de nós e nenhum bordas não deve desconectar e . Outra maneira de analisar o problema da seguinte forma: qual é o número mínimo de nós que precisamos remover para reduzir a conectividade de borda entre e para $s,t$ $G$ $(a,b)$ $a$ $b$ $s$ $t$ $s$ $t$ $b$ ? Esses tipos de problemas foram estudados sob o nome de cortes de várias rotas e são fluxos duplos para várias rotas. Vários resultados de aproximação foram mostrados, embora muitos problemas básicos ainda não tenham sido resolvidos. Um resultado de interesse é o seguinte. Suponhamos que cada aresta tem um custo e que pretende remover o conjunto de custo mínimo das bordas para reduzir a borda-conectividade entre e a ; então esse problema é NP-Hard quando faz parte da entrada. Este resultado está no artigo de Barman e Chawla: http://arxiv.org/abs/0908.0350 $c(e)$ $s$ $t$ $b$ $b$

Dois artigos que aparecerão no próximo SODA 2012 estão em cortes de várias rotas que têm mais resultados sobre o assunto. O de Chuzhoy etal apresenta resultados de dureza para algumas variantes.

Chandra Chekuri
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O artigo sobre Chuzhoy etal já está disponível no ArXiv: arxiv.org/abs/1112.3611

Chandra Chekuri