Quero um gadget fácil para provar o Ciclo Hamiltoniano Planar NP-Completo (do Ciclo Hamiltoniano)

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Sabe-se que o ciclo hamiltoniano (presunto abreviado) é NP-completo e que o ciclo planar de presunto é NP-completo. A prova para o Ciclo de Presunto Planar não é do Ciclo de Presunto.

Existe um gadget legal que, dado um gráfico G, substitua todos os cruzamentos por algum gadget planar, para que você tenha um gráfico planar G 'tal que

G tem um ciclo de presunto se G 'possui um ciclo de presunto.

(Ficarei feliz com as variantes, como caminho do presunto ou ciclo do presunto direcionado ou caminho do presunto direcionado.)

Bill GASARCH
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Uma observação um tanto trivial. Suponha que você incorpore G e as arestas (x,y) e (u,v) cruzem, com x,v,y,u aparecendo no sentido horário em torno do ponto de cruzamento. Substitua-o por um gadget Pxvyu que possui quatro pontos de entrada x,v,y,u correspondentes a x,v,y,você . Se um ciclo hamiltoniano emG usa ambas as arestas(x,y) e(você,v) então emG o ciclo correspondente teria que se auto-atravessar. Isto, obviamente, pressupõe a interpretação mais ingênua do que um `` dispositivo" é e também que o ciclo hamiltoniano emG necessidades de seguir as mesmas bordas como o ciclo correspondente noG .
Marek Chrobak
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O que é o ciclo do presunto? Por favor, não assuma que todos entendem suas abreviações.
Tsuyoshi Ito
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@MarekChrobak: Concordo com sua observação. Você dá duas maneiras de escapar do seu argumento. Eu acho que o mais natural é a segunda: Há um Hamiltonian ciclo em G sse existe um ciclo hamiltoniano x x 'u 'u y y v v x .xyvocêvxGxxuuyyvvx
Bruno
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@ Tsuyoshi: significa ciclo hamiltoniano. Eu acho que é razoável supor que todos possam descobrir isso.
Domotorp
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@ Bill: Estou me perguntando por que você acha que esse gadget deveria existir. O número de cruzamentos ao incorporar um gráfico arbitrário no plano pode ser muito grande ( para o gráfico completo - consulte o lema do cruzamento). Então, se você começar com um grafo com n arestas e muitas arestas (digamos perto quadrática), em seguida, o gráfico incorporado com os cruzamentos adicionados como vértices tem uma estrutura completamente diferente ...Θ(n4)n
Sariel Har-Peled

Respostas:

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Não. Pelo menos, nenhum gadget "legal" para um crossover.

Seja e ( x , y ) uma cruz que queremos substituir.(a,b)(x,y)insira a descrição da imagem aqui

Existem muitos casos para o nosso gráfico, , mas temos que satisfazer pelo menos os quatro seguintes. Caso 1: existe pelo menos um ciclo hamiltoniano, mas nenhum utiliza uma das extremidades. Caso 2: existe pelo menos um ciclo e todos os ciclos usam exatamente uma das duas arestas. Caso 3: existe pelo menos um ciclo e todos os ciclos usam as duas arestas. Caso 4: não há ciclo hamiltoniano.G

Se o nosso dispositivo tem dois (ou mais) vértices de cada um de adjacente a todos os mesmos vizinhos (de modo a que um 0 e um 1 reter um 's vizinhos), então L ' não irá necessariamente ainda ser planar. Para satisfazer o primeiro dos nossos casos acima, não podemos ter novos vértices no gadget. a,b,x,ya0a1aG

Para atender ao caso 3 acima, precisamos ter pelo menos duas arestas no gadget. Nenhum par planar e de cobertura, nem ( a , y ) , ( x , b ) satisfaz o caso 2, por isso precisamos de uma terceira aresta. Sem perda de generalidade, sejam esses ( a , y ) , ( y , b ) , ( x , b ) .(a,x),(y,b)(a,y),(x,b)(a,y),(y,b),(x,b)

No entanto, essa substituição quebra o quarto caso, porque poderia conter um ciclo hamiltoniano quando G não. Tome, por exemplo, L = ( V , E ) onde V = { um , b , x , y , p , q , r , s , t } , e E = { ( a , b ) , ( x , y )GGG=(V,E)V={a,b,x,y,p,q,r,s,t}, . G não é plano e não possui um ciclo hamiltoniano.E={(a,b),(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(b,x),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)}Ginsira a descrição da imagem aqui

Então onde E = { ( a , y ) , ( y , b ) , ( x , b ) } { ( x , y ) , ( a , r ) , ( a , p ) , ( a , q ) , (G=(V,E)E={(a,y),(y,b),(x,b)} . G é plano e possui um ciclo hamiltoniano ( a , q , x , t , p , s , b{(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)}G ).a,q,x,t,p,s,b,y,r,a

Observe que se a borda não foi adicionada em vez de ( a , x ) , então G ' não teria um ciclo hamiltoniano. Parece que você precisa conhecer o ciclo possível para escolher a aresta corretamente.(b,y)(a,x)G

Existe um problema semelhante ao fazer com que o gadget inclua uma das arestas diagonais, como: .(a,b),(a,y),(x,b)

Como adicionar três arestas quebra o caso 4, adicionar mais não ajuda.

Portanto, nenhum gadget "legal" existe. Pode ser que exista um gadget que preste mais atenção aos vizinhos de cada de a , b , x e y , mas isso não parece muito "agradável".a,b,xy

(Nota: informe-me se cometi algum erro acima!)

( Nota 2: Tive alguns números interessantes, mas não consigo publicá-los. Publicado.)

Kyle
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Eu acho que você deve poder postar números agora.
Jukka Suomela