Sabe-se que o ciclo hamiltoniano (presunto abreviado) é NP-completo e que o ciclo planar de presunto é NP-completo. A prova para o Ciclo de Presunto Planar não é do Ciclo de Presunto.
Existe um gadget legal que, dado um gráfico G, substitua todos os cruzamentos por algum gadget planar, para que você tenha um gráfico planar G 'tal que
G tem um ciclo de presunto se G 'possui um ciclo de presunto.
(Ficarei feliz com as variantes, como caminho do presunto ou ciclo do presunto direcionado ou caminho do presunto direcionado.)
cc.complexity-theory
np-hardness
planar-graphs
hamiltonian-paths
Bill GASARCH
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Respostas:
Não. Pelo menos, nenhum gadget "legal" para um crossover.
Seja e ( x , y ) uma cruz que queremos substituir.(a,b) (x,y)
Existem muitos casos para o nosso gráfico, , mas temos que satisfazer pelo menos os quatro seguintes. Caso 1: existe pelo menos um ciclo hamiltoniano, mas nenhum utiliza uma das extremidades. Caso 2: existe pelo menos um ciclo e todos os ciclos usam exatamente uma das duas arestas. Caso 3: existe pelo menos um ciclo e todos os ciclos usam as duas arestas. Caso 4: não há ciclo hamiltoniano.G
Se o nosso dispositivo tem dois (ou mais) vértices de cada um de adjacente a todos os mesmos vizinhos (de modo a que um 0 e um 1 reter um 's vizinhos), então L ' não irá necessariamente ainda ser planar. Para satisfazer o primeiro dos nossos casos acima, não podemos ter novos vértices no gadget.a,b,x,y a0 a1 a G′
Para atender ao caso 3 acima, precisamos ter pelo menos duas arestas no gadget. Nenhum par planar e de cobertura, nem ( a , y ) , ( x , b ) satisfaz o caso 2, por isso precisamos de uma terceira aresta. Sem perda de generalidade, sejam esses ( a , y ) , ( y , b ) , ( x , b ) .(a,x),(y,b) (a,y),(x,b) (a,y),(y,b),(x,b)
No entanto, essa substituição quebra o quarto caso, porque poderia conter um ciclo hamiltoniano quando G não. Tome, por exemplo, L = ( V , E ) onde V = { um , b , x , y , p , q , r , s , t } , e E = { ( a , b ) , ( x , y )G′ G G=(V,E) V={a,b,x,y,p,q,r,s,t}, . G não é plano e não possui um ciclo hamiltoniano.E={(a,b),(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(b,x),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)} G
Então onde E ′ = { ( a , y ) , ( y , b ) , ( x , b ) } ∪ { ( x , y ) , ( a , r ) , ( a , p ) , ( a , q ) , (G′=(V,E′) E′={(a,y),(y,b),(x,b)}∪
. G ′ é plano e possui um ciclo hamiltoniano ( a , q , x , t , p , s , b{(x,y),(a,r),(a,p),(a,q),(b,s),(p,s),(p,t),(p,y),(q,x),(r,y),(t,x)} G′ ).a,q,x,t,p,s,b,y,r,a
Observe que se a borda não foi adicionada em vez de ( a , x ) , então G ' não teria um ciclo hamiltoniano. Parece que você precisa conhecer o ciclo possível para escolher a aresta corretamente.(b,y) (a,x) G′
Existe um problema semelhante ao fazer com que o gadget inclua uma das arestas diagonais, como: .(a,b),(a,y),(x,b)
Como adicionar três arestas quebra o caso 4, adicionar mais não ajuda.
Portanto, nenhum gadget "legal" existe. Pode ser que exista um gadget que preste mais atenção aos vizinhos de cada de a , b , x e y , mas isso não parece muito "agradável".a,b,x y
(Nota: informe-me se cometi algum erro acima!)
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Nota 2: Tive alguns números interessantes, mas não consigo publicá-los.Publicado.)fonte