No entanto, vi poucas pessoas dando uma explicação "direta" para o motivo pelo qual o resultado não é relativizado, e a resposta usual é "aritmetização". Após a inspeção da prova de IP = PSPACE, essa resposta não é falsa , mas não é satisfatória para mim. Parece que a razão "real" remonta à prova de que o problema TQBF - fórmula booleana quantificada verdadeira - está completo para o PSPACE; para provar isso, é necessário mostrar que é possível codificar configurações de uma máquina PSPACE em um formato de tamanho polinomial e (esta parece ser a parte não relativizante), é possível codificar transições "corretas" entre configurações em um tamanho polinomial fórmula booleana - isso usa uma etapa no estilo Cook-Levin.
A intuição que eu desenvolvi é que os resultados não relativizantes são aqueles que remexem no âmago da questão das Máquinas de Turing, e a etapa em que o TQBF é mostrado completo para o PSPACE é o local em que essa cutucada acontece - e a etapa de aritmetização pode aconteceu apenas porque você tinha uma fórmula booleana explícita para aritmetizar.
Isso me parece ser a razão fundamental pela qual IP = PSPACE não é relativizante; e o mantra do folclore de que as técnicas de aritmetização não se relativizam parece ser um subproduto disso: a única maneira de aritmetizar algo é se você tiver uma fórmula booleana que codifica algo sobre as MTs em primeiro lugar!
Tem algo que estou perdendo? Como uma subquestão - isso significa que todos os resultados que usam o TQBF de alguma forma também não são relativizados?
Respostas:
Qualquer resposta a uma pergunta da forma "Qual é a verdadeira razão disso ..." será necessariamente um tanto subjetiva. No entanto, para o caso particular de IP = PSPACE, acho que pode-se argumentar que a aritmetização é realmente a chave, observando que, embora IP = PSPACE não seja relativizado , ele se algebriza no sentido de Aaronson e Wigderson . Como eles explicam em seu artigo, grosso modo, uma inclusão de classe de complexidade algebriza se para todos oráculos e todas as extensões de baixo grau deC⊆D CA⊆DA~ A A~ A . Em particular, eles mostram que a inclusão PSPACE IP é algebrizada, mesmo que não seja relativizada.⊆
Essa não é uma má intuição, mas acho que o resultado de Aaronson-Wigderson mostra que a prova IP = PSPACE circula de maneira bastante limitada e certamente não de maneira sofisticada o suficiente para provar P NP, já que Aaronson e Wigderson também mostram que serão necessárias técnicas não algebrizantes para separar P de NP.≠
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