Equivalência do modelo LEN

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A posição inicial é um modelo de agente principal com informações incompletas (risco moral) e as seguintes propriedades:

  • Utilitário do agente: u(z)=e(raz)
  • Utilidade principal: B(z)=e(rpz)
  • Níveis de esforço eR
  • xR,xN(μ(e),σ),μ(e)>0,μ(e)0
  • Contrato: w(x)=a+bx ,

onde rA e rP é a medida de Arrow-Pratt de aversão ao risco absoluta para o agente e o principal, respectivamente.

Estou procurando o contrato ideal para o principal oferecer ao agente quando o esforço do agente não é visível. O utilitário do principal pode ser escrito da seguinte maneira:

UP(e,a,b)=e(rP((1b)xa))f(xe)dx

Quero mostrar que a seguinte equivalência é válida, o que significa que a maximização da utilidade do principal pode ser escrita como o RHS da seguinte equivalência:

maxe,a,be(rP((1b)xa))f(xe)dxmaxe,a,b(1b)μ(e)arP2(1b)2σ2

onde f(x|e)=1σ2πe(12(xμ(e)σ)2) é a função de densidade de uma variável aleatória normal xN(μ(e),σ) , com valor esperado μ(e) e variação σ>0 .

Tentei usar a forma explícita de f(x|e) no LHS, manipulá-lo um pouco e depois integrar, mas não consegui a equivalência.

Fusscreme
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Respostas:

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O ponto principal é que a utilidade esperada do principal a partir de uma recompensa condicional a um certo nível de esforço pode ser escrita comoze

E[z|e]rp2Var(z|e).

Em outras palavras, como a riqueza é normalmente distribuída, a utilidade exponencial tem uma representação simples de "variação média". Para uma derivação, veja aqui .

Suponho que o pagamento do principal seja igual a . É então simples calcular a média e a variância (condicionais) de :zxw(x)=(1b)xaz

E[z|e]=(1b)E[x|e]E[a]=(1b)μ(e)a,

Var[z|e]=(1b)2Var(x|e)Var(a)=(1b)2σ2.

Segue-se que a utilidade esperada do principal pode ser escrita como

(1b)μ(e)arp2(1b)2σ2.


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